Cálculo Exemplos

$y = \ln (x^{2} + 3 x + 15)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + 3 x + 15$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 3 x + 15$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 3 x + 15$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3 x + 15$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15])$

Etapa 1.2.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15])$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15])$

Etapa 1.2.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [15])$

Etapa 1.2.6

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3 + 0)$

Etapa 1.2.7

Some $2 x + 3$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3)$ .

$(2 x + 3) \frac{1}{x^{2} + 3 x + 15}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $2 x + 3$ por $\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15}$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x + 15}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 2 x + 3$ e $g (x) = x^{2} + 3 x + 15$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) (2 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.2.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) (2 + 0) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.6.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) \cdot 2 - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.2.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 3 x + 15$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3 x + 15$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.2.9

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.2.11

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.2.12

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + 3 + 0)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.2.13

Some $2 x + 3$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.3

Eleve $2 x + 3$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - ({(2 x + 3)}^{1} (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.4

Eleve $2 x + 3$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - ({(2 x + 3)}^{1} {(2 x + 3)}^{1})}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - {(2 x + 3)}^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - {(2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7

Simplifique.

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Etapa 2.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 (3 x) + 2 \cdot 15 - {(2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.7.2.1.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 2 \cdot 15 - {(2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7.2.1.2

Multiplique $2$ por $15$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - {(2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7.2.1.3

Reescreva ${(2 x + 3)}^{2}$ como $(2 x + 3) (2 x + 3)$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - ((2 x + 3) (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7.2.1.4

Expanda $(2 x + 3) (2 x + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.7.2.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7.2.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7.2.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7.2.1.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.7.2.1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.7.2.1.5.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7.2.1.5.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.7.2.1.5.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7.2.1.5.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7.2.1.5.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7.2.1.5.1.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7.2.1.5.1.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7.2.1.5.1.6

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7.2.1.5.2

Some $6 x$ e $6 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2} + 12 x + 9)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7.2.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2}) - (12 x) - 1 \cdot 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7.2.1.7

Simplifique.

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Etapa 2.7.2.1.7.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - 4 x^{2} - (12 x) - 1 \cdot 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7.2.1.7.2

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - 4 x^{2} - 12 x - 1 \cdot 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7.2.1.7.3

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - 4 x^{2} - 12 x - 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7.2.2

Subtraia $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 6 x + 30 - 12 x - 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7.2.3

Subtraia $12 x$ de $6 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 6 x + 30 - 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7.2.4

Subtraia $9$ de $30$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 6 x + 21}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7.3

Fatore $- 1$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - 6 x + 21}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7.4

Fatore $- 1$ de $- 6 x$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - (6 x) + 21}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7.5

Fatore $- 1$ de $- (2 x^{2}) - (6 x)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 6 x) + 21}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7.6

Reescreva $21$ como $- 1 (- 21)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 6 x) - 1 (- 21)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7.7

Fatore $- 1$ de $- (2 x^{2} + 6 x) - 1 (- 21)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 6 x - 21)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7.8

Reescreva $- (2 x^{2} + 6 x - 21)$ como $- 1 (2 x^{2} + 6 x - 21)$ .

$\frac{- 1 (2 x^{2} + 6 x - 21)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} + 6 x - 21}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$