Cálculo Exemplos

$y = 6 \sin (2 x + 10)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 \sin (2 x + 10)$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 10)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 10)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x + 10$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x + 10$ .

$6 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 10])$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$6 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x + 10])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 10$ .

$6 (\cos (2 x + 10) \frac{d}{d x} [2 x + 10])$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$6 \cos (2 x + 10) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [10])$

Etapa 1.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \cos (2 x + 10) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10])$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \cos (2 x + 10) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10])$

Etapa 1.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$6 \cos (2 x + 10) (2 + \frac{d}{d x} [10])$

Etapa 1.3.5

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 \cos (2 x + 10) (2 + 0)$

Etapa 1.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.6.1

Some $2$ e $0$ .

$6 \cos (2 x + 10) \cdot 2$

Etapa 1.3.6.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$f' (x) = 12 \cos (2 x + 10)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 \cos (2 x + 10)$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 10)]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 10)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x + 10$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x + 10$ .

$12 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 10])$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$12 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x + 10])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 10$ .

$12 (- \sin (2 x + 10) \frac{d}{d x} [2 x + 10])$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$- 12 (\sin (2 x + 10) \frac{d}{d x} [2 x + 10])$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$- 12 \sin (2 x + 10) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [10])$

Etapa 2.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 \sin (2 x + 10) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10])$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 12 \sin (2 x + 10) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10])$

Etapa 2.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 12 \sin (2 x + 10) (2 + \frac{d}{d x} [10])$

Etapa 2.3.6

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 12 \sin (2 x + 10) (2 + 0)$

Etapa 2.3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.7.1

Some $2$ e $0$ .

$- 12 \sin (2 x + 10) \cdot 2$

Etapa 2.3.7.2

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$f'' (x) = - 24 \sin (2 x + 10)$