Cálculo Exemplos

$y = {(5 x + 30)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = 5 x + 30$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x + 30$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [5 x + 30]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 30]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x + 30$ .

$\frac{2}{3} {(5 x + 30)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 30]$

Etapa 1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(5 x + 30)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x + 30]$

Etapa 1.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(5 x + 30)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x + 30]$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3} {(5 x + 30)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x + 30]$

Etapa 1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} {(5 x + 30)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x + 30]$

Etapa 1.5.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(5 x + 30)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [5 x + 30]$

Etapa 1.6

Combine frações.

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Etapa 1.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} {(5 x + 30)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [5 x + 30]$

Etapa 1.6.2

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(5 x + 30)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(5 x + 30)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [5 x + 30]$

Etapa 1.6.3

Mova ${(5 x + 30)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x + 30]$

Etapa 1.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 30$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [30]$ .

$\frac{2}{3 {(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [30])$

Etapa 1.8

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3 {(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [30])$

Etapa 1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [30])$

Etapa 1.10

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{2}{3 {(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}}} (5 + \frac{d}{d x} [30])$

Etapa 1.11

Como $30$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $30$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2}{3 {(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}}} (5 + 0)$

Etapa 1.12

Combine frações.

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Etapa 1.12.1

Some $5$ e $0$ .

$\frac{2}{3 {(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 5$

Etapa 1.12.2

Combine $\frac{2}{3 {(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}}}$ e $5$ .

$\frac{2 \cdot 5}{3 {(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.12.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$f' (x) = \frac{10}{3 {(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1.1

Como $\frac{10}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{10}{3 {(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}}}$ em relação a $x$ é $\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 2.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}}}$ como ${({(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [{({(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [{(5 x + 30)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Etapa 2.1.2.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [{(5 x + 30)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Etapa 2.1.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [{(5 x + 30)}^{- \frac{1}{3}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ e $g (x) = 5 x + 30$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x + 30$ .

$\frac{10}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [5 x + 30])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{3}$ .

$\frac{10}{3} (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 30])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x + 30$ .

$\frac{10}{3} (- \frac{1}{3} {(5 x + 30)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 30])$

Etapa 2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} (- \frac{1}{3} {(5 x + 30)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x + 30])$

Etapa 2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} (- \frac{1}{3} {(5 x + 30)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x + 30])$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{10}{3} (- \frac{1}{3} {(5 x + 30)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x + 30])$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{10}{3} (- \frac{1}{3} {(5 x + 30)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x + 30])$

Etapa 2.6.2

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$\frac{10}{3} (- \frac{1}{3} {(5 x + 30)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [5 x + 30])$

Etapa 2.7

Combine frações.

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Etapa 2.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{10}{3} (- \frac{1}{3} {(5 x + 30)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [5 x + 30])$

Etapa 2.7.2

Combine ${(5 x + 30)}^{- \frac{4}{3}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{10}{3} (- \frac{{(5 x + 30)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [5 x + 30])$

Etapa 2.7.3

Mova ${(5 x + 30)}^{- \frac{4}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{10}{3} (- \frac{1}{3 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x + 30])$

Etapa 2.7.4

Multiplique $\frac{10}{3}$ por $\frac{1}{3 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{10}{3 (3 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}})} \frac{d}{d x} [5 x + 30]$

Etapa 2.7.5

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{10}{9 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x + 30]$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 30$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [30]$ .

$- \frac{10}{9 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [30])$

Etapa 2.9

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{10}{9 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [30])$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{10}{9 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [30])$

Etapa 2.11

Multiplique $5$ por $1$ .

$- \frac{10}{9 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}} (5 + \frac{d}{d x} [30])$

Etapa 2.12

Como $30$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $30$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{10}{9 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}} (5 + 0)$

Etapa 2.13

Combine frações.

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Etapa 2.13.1

Some $5$ e $0$ .

$- \frac{10}{9 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 5$

Etapa 2.13.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 \frac{10}{9 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.13.3

Combine $- 5$ e $\frac{10}{9 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{- 5 \cdot 10}{9 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.13.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.13.4.1

Multiplique $- 5$ por $10$ .

$\frac{- 50}{9 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.13.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{50}{9 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}}$