Cálculo Exemplos

$f (θ) = 3 \tan^{2} (θ)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $3$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $3 \tan^{2} (θ)$ em relação a $θ$ é $3 \frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ)]$ .

$3 \frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = θ^{2}$ e $g (θ) = \tan (θ)$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\tan (θ)$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\tan (θ)$ .

$3 (2 \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

Etapa 1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 (\tan (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

Etapa 1.4

A derivada de $\tan (θ)$ em relação a $θ$ é $\sec^{2} (θ)$ .

$6 \tan (θ) \sec^{2} (θ)$

Etapa 1.5

Reordene os fatores de $6 \tan (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$f' (θ) = 6 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $6$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $6 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$ em relação a $θ$ é $6 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ) \tan (θ)]$ .

$6 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ) \tan (θ)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ é $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ , em que $f (θ) = \sec^{2} (θ)$ e $g (θ) = \tan (θ)$ .

$6 (\sec^{2} (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)] + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

Etapa 2.3

A derivada de $\tan (θ)$ em relação a $θ$ é $\sec^{2} (θ)$ .

$6 (\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

Etapa 2.4

Multiplique $\sec^{2} (θ)$ por $\sec^{2} (θ)$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 ({\sec (θ)}^{2 + 2} + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

Etapa 2.4.2

Some $2$ e $2$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = θ^{2}$ e $g (θ) = \sec (θ)$ .

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Etapa 2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sec (θ)$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]))$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) (2 u \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]))$

Etapa 2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sec (θ)$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) (2 \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]))$

Etapa 2.6

Mova $2$ para a esquerda de $\tan (θ)$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \cdot \tan (θ) \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)])$

Etapa 2.7

A derivada de $\sec (θ)$ em relação a $θ$ é $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ)))$

Etapa 2.8

Eleve $\tan (θ)$ à potência de $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 (\tan^{1} (θ) \tan (θ)) \sec (θ) \sec (θ))$

Etapa 2.9

Eleve $\tan (θ)$ à potência de $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 (\tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ)) \sec (θ) \sec (θ))$

Etapa 2.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) \sec (θ))$

Etapa 2.11

Some $1$ e $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) \sec (θ) \sec (θ))$

Etapa 2.12

Eleve $\sec (θ)$ à potência de $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) (\sec^{1} (θ) \sec (θ)))$

Etapa 2.13

Eleve $\sec (θ)$ à potência de $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) (\sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ)))$

Etapa 2.14

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) {\sec (θ)}^{1 + 1})$

Etapa 2.15

Some $1$ e $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) \sec^{2} (θ))$

Etapa 2.16

Simplifique.

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Etapa 2.16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 \sec^{4} (θ) + 6 (2 \tan^{2} (θ) \sec^{2} (θ))$

Etapa 2.16.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$6 \sec^{4} (θ) + 12 \tan^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$

Etapa 2.16.3

Reordene os termos.

$f'' (θ) = 12 \sec^{2} (θ) \tan^{2} (θ) + 6 \sec^{4} (θ)$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (θ)$ com relação a $θ$ é $12 \sec^{2} (θ) \tan^{2} (θ) + 6 \sec^{4} (θ)$ .

$12 \sec^{2} (θ) \tan^{2} (θ) + 6 \sec^{4} (θ)$