Cálculo Exemplos

$9 x^{2} + x y + 9 y^{2} = 19$ , $(1, 1)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (9 x^{2} + x y + 9 y^{2}) = \frac{d}{d x} (19)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{2} + x y + 9 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{2}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $9$ .

$18 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$18 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$18 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$18 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Etapa 2.3.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$18 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 y^{2}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$18 x + x y' + y + 9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$18 x + x y' + y + 9 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$18 x + x y' + y + 9 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$18 x + x y' + y + 9 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.4.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$18 x + x y' + y + 9 (2 y y')$

Etapa 2.4.4

Multiplique $2$ por $9$ .

$18 x + x y' + y + 18 y y'$

Etapa 2.5

Reordene os termos.

$x y' + 18 y y' + 18 x + y$

Etapa 3

Como $19$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $19$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x y' + 18 y y' + 18 x + y = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $18 x$ dos dois lados da equação.

$x y' + 18 y y' + y = - 18 x$

Etapa 5.1.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$x y' + 18 y y' = - 18 x - y$

Etapa 5.2

Fatore $y'$ de $x y' + 18 y y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y'$ de $x y'$ .

$y' x + 18 y y' = - 18 x - y$

Etapa 5.2.2

Fatore $y'$ de $18 y y'$ .

$y' (x) + y' (18 y) = - 18 x - y$

Etapa 5.2.3

Fatore $y'$ de $y' (x) + y' (18 y)$ .

$y' (x + 18 y) = - 18 x - y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $y' (x + 18 y) = - 18 x - y$ por $x + 18 y$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $y' (x + 18 y) = - 18 x - y$ por $x + 18 y$ .

$\frac{y' (x + 18 y)}{x + 18 y} = \frac{- 18 x}{x + 18 y} + \frac{- y}{x + 18 y}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x + 18 y$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x + 18 y)}{x + 18 y} = \frac{- 18 x}{x + 18 y} + \frac{- y}{x + 18 y}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 18 x}{x + 18 y} + \frac{- y}{x + 18 y}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 18 x - y}{x + 18 y}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $- 1$ de $- 18 x$ .

$y' = \frac{- (18 x) - y}{x + 18 y}$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{- (18 x) - (y)}{x + 18 y}$

Etapa 5.3.3.4

Fatore $- 1$ de $- (18 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (18 x + y)}{x + 18 y}$

Etapa 5.3.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.3.5.1

Reescreva $- (18 x + y)$ como $- 1 (18 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (18 x + y)}{x + 18 y}$

Etapa 5.3.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{18 x + y}{x + 18 y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{18 x + y}{x + 18 y}$

Etapa 7

Substitua $x$ por $1$ e $y$ por $1$ na expressão.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{18 (1) + 1}{(1) + 18 (1)}$

Etapa 8

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.1

Remova os parênteses.

$- \frac{18 (1) + 1}{(1) + 18 (1)}$

Etapa 8.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $18$ por $1$ .

$- \frac{18 + 1}{1 + 18 (1)}$

Etapa 8.2.2

Some $18$ e $1$ .

$- \frac{19}{1 + 18 (1)}$

Etapa 8.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.3.1

Multiplique $18$ por $1$ .

$- \frac{19}{1 + 18}$

Etapa 8.3.2

Some $1$ e $18$ .

$- \frac{19}{19}$

Etapa 8.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 8.4.1

Cancele o fator comum de $19$ .

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Etapa 8.4.1.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{19}{19}$

Etapa 8.4.1.2

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 1$

Etapa 8.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$