Cálculo Exemplos

$\sin (2 y) = x$ ; $(0, \frac{π}{2})$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (\sin (2 y)) = \frac{d}{d y} (x)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \sin (y)$ e $g (y) = 2 y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 y$ .

$\cos (2 y) \frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\cos (2 y) (2 \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (2 y) (2 \cdot 1)$

Etapa 2.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\cos (2 y) \cdot 2$

Etapa 2.2.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 y)$ .

$2 \cos (2 y)$

Etapa 3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 \cos (2 y) = x'$

Etapa 5

Reescreva a equação como $x' = 2 \cos (2 y)$ .

$x' = 2 \cos (2 y)$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = 2 \cos (2 y)$

Etapa 7

Substitua $x$ por $0$ e $y$ por $\frac{p}{2}$ na expressão.

$\frac{d x}{d y} = 2 \cos (2 (\frac{p}{2}))$

Etapa 8

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.1

Cancele o fator comum.

$2 \cos (2 \frac{p}{2})$

Etapa 8.2

Reescreva a expressão.

$2 \cos (p)$