Cálculo Exemplos

$z = {(3 x + 1)}^{4} {(5 x - 2)}^{3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ é $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ , em que $f (z) = {(3 x + 1)}^{4}$ e $g (z) = {(5 x - 2)}^{3}$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [{(5 x - 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Etapa 2

Use o teorema binomial.

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [{(5 x)}^{3} + 3 {(5 x)}^{2} \cdot - 2 + 3 (5 x) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Aplique a regra do produto a $5 x$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [5^{3} x^{3} + 3 {(5 x)}^{2} \cdot - 2 + 3 (5 x) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Etapa 3.2

Eleve $5$ à potência de $3$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} + 3 {(5 x)}^{2} \cdot - 2 + 3 (5 x) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Etapa 3.3

Aplique a regra do produto a $5 x$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} + 3 (5^{2} x^{2}) \cdot - 2 + 3 (5 x) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Etapa 3.4

Eleve $5$ à potência de $2$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} + 3 (25 x^{2}) \cdot - 2 + 3 (5 x) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Etapa 3.5

Multiplique $25$ por $3$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} + 75 x^{2} \cdot - 2 + 3 (5 x) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Etapa 3.6

Multiplique $- 2$ por $75$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} - 150 x^{2} + 3 (5 x) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Etapa 3.7

Multiplique $5$ por $3$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} - 150 x^{2} + 15 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Etapa 3.8

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} - 150 x^{2} + 15 x \cdot 4 + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Etapa 3.9

Multiplique $4$ por $15$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} - 150 x^{2} + 60 x + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Etapa 3.10

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} - 150 x^{2} + 60 x - 8] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Etapa 4

Como $125 x^{3} - 150 x^{2} + 60 x - 8$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $125 x^{3} - 150 x^{2} + 60 x - 8$ em relação a $z$ é $0$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Etapa 5

Use o teorema binomial.

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x)}^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 1 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Etapa 6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [3^{4} x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 1 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Etapa 6.2

Eleve $3$ à potência de $4$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 1 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Etapa 6.3

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 4 (3^{3} x^{3}) \cdot 1 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Etapa 6.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 4 (27 x^{3}) \cdot 1 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Etapa 6.5

Multiplique $27$ por $4$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} \cdot 1 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Etapa 6.6

Multiplique $108$ por $1$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Etapa 6.7

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 6 (3^{2} x^{2}) \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Etapa 6.8

Eleve $3$ à potência de $2$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 6 (9 x^{2}) \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Etapa 6.9

Multiplique $9$ por $6$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Etapa 6.10

Um elevado a qualquer potência é um.

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 1 + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Etapa 6.11

Multiplique $54$ por $1$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Etapa 6.12

Multiplique $3$ por $4$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 12 x \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Etapa 6.13

Um elevado a qualquer potência é um.

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 12 x \cdot 1 + 1^{4}]$

Etapa 6.14

Multiplique $12$ por $1$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 12 x + 1^{4}]$

Etapa 6.15

Um elevado a qualquer potência é um.

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 12 x + 1]$

Etapa 7

Como $81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 12 x + 1$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 12 x + 1$ em relação a $z$ é $0$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \cdot 0$

Etapa 8

Combine os termos.

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Etapa 8.1

Multiplique ${(3 x + 1)}^{4}$ por $0$ .

$0 + {(5 x - 2)}^{3} \cdot 0$

Etapa 8.2

Multiplique ${(5 x - 2)}^{3}$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 8.3

Some $0$ e $0$ .

$0$