Cálculo Exemplos

$y = (7 \sqrt{x} + 4) x^{2}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 7 \sqrt{x} + 4$ e $g (x) = x^{2}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [7 \sqrt{x} + 4]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [7 \sqrt{x} + 4]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 \sqrt{x} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}]$ .

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 3.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 3.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 3.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 3.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 3.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 3.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 3.10

Combine $7$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (\frac{7 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 3.11

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Etapa 4.2

Some $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$7 \sqrt{x} (2 x) + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2

Combine os termos.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $2$ por $7$ .

$14 \sqrt{x} x + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$14 x^{\frac{1}{2}} x + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$14 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$14 x^{1 + \frac{1}{2}} + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$14 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$14 x^{\frac{2 + 1}{2}} + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2.7

Some $2$ e $1$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2.8

Multiplique $2$ por $4$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2.9

Combine $x^{2}$ e $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{x^{2} \cdot 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2.10

Mova $7$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 \cdot x^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2.11

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 5.2.12

Multiplique $x^{2}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.12.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}{2}$

Etapa 5.2.12.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{- \frac{1}{2} + 2}}{2}$

Etapa 5.2.12.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}{2}$

Etapa 5.2.12.4

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}{2}$

Etapa 5.2.12.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}{2}$

Etapa 5.2.12.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.12.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}{2}$

Etapa 5.2.12.6.2

Some $- 1$ e $4$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 5.2.13

Para escrever $14 x^{\frac{3}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 14 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 5.2.14

Combine $14 x^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$8 x + \frac{14 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 5.2.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 x + \frac{14 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 5.2.16

Multiplique $2$ por $14$ .

$8 x + \frac{28 x^{\frac{3}{2}} + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 5.2.17

Some $28 x^{\frac{3}{2}}$ e $7 x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x + \frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{2}$