Cálculo Exemplos

$e^{- 1.5 x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 1.5 x^{2}$ .

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Etapa 1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 1.5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

Etapa 1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 1.5 x^{2}$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 1.5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1.5 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 (2 x))$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 1.5$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

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Etapa 1.1.3.1

Reordene os fatores de $e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)$ .

$- 3 e^{- 1.5 x^{2}} x$

Etapa 1.1.3.2

Reordene os fatores em $- 3 e^{- 1.5 x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$ .

$- 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Etapa 2.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.4

Defina $e^{- 1.5 x^{2}}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $e^{- 1.5 x^{2}}$ como igual a $0$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- 1.5 x^{2}}) = \ln (0)$

Etapa 2.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.4.2.3

Não há uma solução para $e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ verdadeiro.

$x = 0$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $e^{- 1.5 x^{2}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$e^{- 1.5 {(0)}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$e^{- 1.5 \cdot 0}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- 1.5$ por $0$ .

$e^{0}$

Etapa 4.1.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1$

Etapa 4.2

Liste todos os pontos.

$(0, 1)$

Etapa 5