Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{3}}{64} - 3 x$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{x^{3}}{64} - 3 x$ como uma função.

$f (x) = \frac{x^{3}}{64} - 3 x$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{3}}{64} - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{64}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{64}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{64}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $\frac{1}{64}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{3}}{64}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{64} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{64} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{64} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 2.1.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{64}$ .

$\frac{3}{64} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 2.1.2.4

Combine $\frac{3}{64}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{64} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x^{2}}{64} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{64} - 3 \cdot 1$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{64} - 3$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{3 x^{2}}{64} - 3$ .

$\frac{3 x^{2}}{64} - 3$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{3 x^{2}}{64} - 3 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{64} - 3 = 0$

Etapa 3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$\frac{3 x^{2}}{64} = 3$

Etapa 3.3

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{64}{3}$ .

$\frac{64}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{64} = \frac{64}{3} \cdot 3$

Etapa 3.4

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Simplifique $\frac{64}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{64}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1.1

Combine.

$\frac{64 (3 x^{2})}{3 \cdot 64} = \frac{64}{3} \cdot 3$

Etapa 3.4.1.1.2

Cancele o fator comum de $64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{64 (3 x^{2})}{3 \cdot 64} = \frac{64}{3} \cdot 3$

Etapa 3.4.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{64}{3} \cdot 3$

Etapa 3.4.1.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{64}{3} \cdot 3$

Etapa 3.4.1.1.3.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{64}{3} \cdot 3$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} = \frac{64}{3} \cdot 3$

Etapa 3.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} = 64$

Etapa 3.5

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{64}$

Etapa 3.6

Simplifique $\pm \sqrt{64}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Etapa 3.6.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 8$

Etapa 3.7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 8$

Etapa 3.7.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 8$

Etapa 3.7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 8, - 8$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $8, - 8$ .

$8, - 8$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 8) \cup (8, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 8)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 9$ na expressão.

$f' (- 9) = \frac{3 {(- 9)}^{2}}{64} - 3$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 9$ à potência de $2$ .

$f' (- 9) = \frac{3 \cdot 81}{64} - 3$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $3$ por $81$ .

$f' (- 9) = \frac{243}{64} - 3$

Etapa 6.2.2

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{64}{64}$ .

$f' (- 9) = \frac{243}{64} - 3 \cdot \frac{64}{64}$

Etapa 6.2.3

Combine $- 3$ e $\frac{64}{64}$ .

$f' (- 9) = \frac{243}{64} + \frac{- 3 \cdot 64}{64}$

Etapa 6.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- 9) = \frac{243 - 3 \cdot 64}{64}$

Etapa 6.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.5.1

Multiplique $- 3$ por $64$ .

$f' (- 9) = \frac{243 - 192}{64}$

Etapa 6.2.5.2

Subtraia $192$ de $243$ .

$f' (- 9) = \frac{51}{64}$

Etapa 6.2.6

A resposta final é $\frac{51}{64}$ .

$\frac{51}{64}$

Etapa 6.3

Em $x = - 9$ , a derivada é $\frac{51}{64}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 8)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 8)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 8, 8)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = \frac{3 {(0)}^{2}}{64} - 3$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = \frac{3 \cdot 0}{64} - 3$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$f' (0) = \frac{0}{64} - 3$

Etapa 7.2.1.3

Divida $0$ por $64$ .

$f' (0) = 0 - 3$

Etapa 7.2.2

Subtraia $3$ de $0$ .

$f' (0) = - 3$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 3$ .

$- 3$

Etapa 7.3

Em $x = 0$ , a derivada é $- 3$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 8, 8)$ .

Decréscimo em $(- 8, 8)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(8, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $9$ na expressão.

$f' (9) = \frac{3 {(9)}^{2}}{64} - 3$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f' (9) = \frac{3 \cdot {(3^{2})}^{2}}{64} - 3$

Etapa 8.2.1.1.2

Multiplique os expoentes em ${(3^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (9) = \frac{3 \cdot 3^{2 \cdot 2}}{64} - 3$

Etapa 8.2.1.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (9) = \frac{3 \cdot 3^{4}}{64} - 3$

Etapa 8.2.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (9) = \frac{3^{1 + 4}}{64} - 3$

Etapa 8.2.1.1.4

Some $1$ e $4$ .

$f' (9) = \frac{3^{5}}{64} - 3$

Etapa 8.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$f' (9) = \frac{243}{64} - 3$

Etapa 8.2.2

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{64}{64}$ .

$f' (9) = \frac{243}{64} - 3 \cdot \frac{64}{64}$

Etapa 8.2.3

Combine $- 3$ e $\frac{64}{64}$ .

$f' (9) = \frac{243}{64} + \frac{- 3 \cdot 64}{64}$

Etapa 8.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (9) = \frac{243 - 3 \cdot 64}{64}$

Etapa 8.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.5.1

Multiplique $- 3$ por $64$ .

$f' (9) = \frac{243 - 192}{64}$

Etapa 8.2.5.2

Subtraia $192$ de $243$ .

$f' (9) = \frac{51}{64}$

Etapa 8.2.6

A resposta final é $\frac{51}{64}$ .

$\frac{51}{64}$

Etapa 8.3

Em $x = 9$ , a derivada é $\frac{51}{64}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(8, \infty)$ .

Acréscimo em $(8, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 8), (8, \infty)$

Decréscimo em: $(- 8, 8)$

Etapa 10