Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 9} \frac{x - 9}{\sqrt{x - 9}}$

Etapa 1

Altere o valor crítico bilateral para valor crítico direito.

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{x - 9}{\sqrt{x - 9}}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 9^{+}} x - 9}{lim_{x \to 9^{+}} \sqrt{x - 9}}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9^{+}} x - lim_{x \to 9^{+}} 9}{lim_{x \to 9^{+}} \sqrt{x - 9}}$

Etapa 2.1.2.1.2

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9^{+}} x - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 9^{+}} \sqrt{x - 9}}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 9^{+}} \sqrt{x - 9}}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to 9^{+}} \sqrt{x - 9}}$

Etapa 2.1.2.3.2

Subtraia $9$ de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9^{+}} \sqrt{x - 9}}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.3.1.1

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 9^{+}} x - 9}}$

Etapa 2.1.3.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 9^{+}} x - lim_{x \to 9^{+}} 9}}$

Etapa 2.1.3.1.3

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 9^{+}} x - 1 \cdot 9}}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{9 - 1 \cdot 9}}$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{0}{\sqrt{9 - 9}}$

Etapa 2.1.3.3.2

Subtraia $9$ de $9$ .

$\frac{0}{\sqrt{0}}$

Etapa 2.1.3.3.3

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{0^{2}}}$

Etapa 2.1.3.3.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.3.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{x - 9}{\sqrt{x - 9}} = lim_{x \to 9^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - 9]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 9}]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - 9]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 9}]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 9}]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 9}]}$

Etapa 2.3.4

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 9}]}$

Etapa 2.3.5

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 9}]}$

Etapa 2.3.6

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - 9}$ como ${(x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - 9$ .

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Etapa 2.3.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 9$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 2.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 2.3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 9$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 2.3.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 2.3.9

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 2.3.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 2.3.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.11.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 2.3.11.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 2.3.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 2.3.13

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{{(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 2.3.14

Mova ${(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 2.3.15

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}$

Etapa 2.3.16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}$

Etapa 2.3.17

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}$

Etapa 2.3.18

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}$

Etapa 2.3.19

Multiplique $\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 9^{+}} 1 (2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2.5

Reescreva ${(x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x - 9}$ .

$lim_{x \to 9^{+}} 1 (2 \sqrt{x - 9})$

Etapa 2.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 9^{+}} 2 \sqrt{x - 9}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to 9^{+}} \sqrt{x - 9}$

Etapa 3.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$2 \sqrt{lim_{x \to 9^{+}} x - 9}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$2 \sqrt{lim_{x \to 9^{+}} x - lim_{x \to 9^{+}} 9}$

Etapa 3.4

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$2 \sqrt{lim_{x \to 9^{+}} x - 1 \cdot 9}$

Etapa 4

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$2 \sqrt{9 - 1 \cdot 9}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$2 \sqrt{9 - 9}$

Etapa 5.2

Subtraia $9$ de $9$ .

$2 \sqrt{0}$

Etapa 5.3

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$2 \sqrt{0^{2}}$

Etapa 5.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$2 \cdot 0$

Etapa 5.5

Multiplique $2$ por $0$ .

$0$