Cálculo Exemplos

$\int_{- \infty}^{\infty} x e^{- x^{2}} d x$

Etapa 1

Divida a integral em $0$ e escreva como uma soma de limites.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} x e^{- x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Depois, $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Deixe $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Reordene os fatores de $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Etapa 2.1.4.2

Reordene os fatores em $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- t^{2}}$

Etapa 2.3

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- 0^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{upper} = e^{- 0}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{upper} = e^{0}$

Etapa 2.4.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 2.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = e^{- t^{2}}$

$u_{upper} = 1$

Etapa 2.6

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$lim_{t \to - \infty} \int_{e^{- t^{2}}}^{1} \frac{1}{- 2} d u_{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Etapa 3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{t \to - \infty} \int_{e^{- t^{2}}}^{1} - \frac{1}{2} d u_{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} u_{2}]_{e^{- t^{2}}}^{1} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie $- \frac{1}{2} u_{2}$ em $1$ e em $e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} (- \frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Etapa 5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Etapa 5.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Etapa 6

Deixe $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Depois, $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Deixe $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Diferencie $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Etapa 6.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 6.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 6.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 6.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 6.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Etapa 6.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Etapa 6.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.1

Reordene os fatores de $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Etapa 6.1.4.2

Reordene os fatores em $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Etapa 6.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- 0^{2}}$

Etapa 6.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = e^{- 0}$

Etapa 6.3.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Etapa 6.3.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 6.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Etapa 6.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Etapa 6.6

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{2}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Etapa 7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{2}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 8

Aplique a regra da constante.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{- t^{2}}}$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Avalie $- \frac{1}{2} u_{2}$ em $e^{- t^{2}}$ e em $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{2} e^{- t^{2}}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 9.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Combine $e^{- t^{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 9.2.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 10

Avalie os limites.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Combine as frações usando um denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 + e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 10.1.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1) + e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 10.1.3

Fatore $- 1$ de $e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1) - 1 (- e^{- t^{2}})}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 10.1.4

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- e^{- t^{2}})$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1 - e^{- t^{2}})}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 10.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 10.2

Combine as frações usando um denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- e^{- t^{2}} + 1}{2}$

Etapa 10.2.2

Fatore $- 1$ de $- e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}}) + 1}{2}$

Etapa 10.2.3

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}}) - 1 (- 1)}{2}$

Etapa 10.2.4

Fatore $- 1$ de $- (e^{- t^{2}}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}} - 1)}{2}$

Etapa 10.2.5

Reescreva $- (e^{- t^{2}} - 1)$ como $- 1 (e^{- t^{2}} - 1)$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (e^{- t^{2}} - 1)}{2}$

Etapa 10.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Etapa 10.3

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- lim_{t \to - \infty} \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Etapa 10.3.2

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} 1 - e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Etapa 10.3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $- \infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} 1 - lim_{t \to - \infty} e^{- t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Etapa 10.3.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $- \infty$ .

$- \frac{1}{2} (1 - lim_{t \to - \infty} e^{- t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Etapa 10.4

Como o expoente $- t^{2}$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{- t^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Etapa 10.5

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Etapa 10.5.2

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} - 1$

Etapa 10.5.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1)$

Etapa 10.6

Como o expoente $- t^{2}$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{- t^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Etapa 10.7

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.7.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 10.7.2

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.7.2.1.1

Subtraia $0$ de $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 10.7.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 10.7.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (0 - 1)$

Etapa 10.7.2.1.4

Subtraia $1$ de $0$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Etapa 10.7.2.1.5

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.7.2.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Etapa 10.7.2.1.5.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 10.7.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 + 1}{2}$

Etapa 10.7.2.3

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{0}{2}$

Etapa 10.7.2.4

Divida $0$ por $2$ .

$0$