Cálculo Exemplos

$\int \frac{x + 5}{\sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x - 3$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x - 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{u + 3 + 5}{\sqrt{9 - u^{2}}} d u$

Etapa 2

Some $3$ e $5$ .

$\int \frac{u + 8}{\sqrt{9 - u^{2}}} d u$

Etapa 3

Deixe $u = 3 \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d u = 3 \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ é positivo.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.1

Simplifique $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

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Etapa 4.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1.1

Aplique a regra do produto a $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 4.1.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 4.1.1.3

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 4.1.2

Fatore $9$ de $9$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 4.1.3

Fatore $9$ de $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 4.1.4

Fatore $9$ de $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 4.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 4.1.6

Reescreva $9 \cos^{2} (t)$ como ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 4.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $3 \cos (t)$ .

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 4.2.2

Reescreva a expressão.

$\int 3 \sin (t) + 8 d t$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 3 \sin (t) d t + \int 8 d t$

Etapa 6

Como $3$ é constante com relação a $t$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int \sin (t) d t + \int 8 d t$

Etapa 7

A integral de $\sin (t)$ com relação a $t$ é $- \cos (t)$ .

$3 (- \cos (t) + C) + \int 8 d t$

Etapa 8

Aplique a regra da constante.

$3 (- \cos (t) + C) + 8 t + C$

Etapa 9

Simplifique.

$- 3 \cos (t) + 8 t + C$

Etapa 10

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 10.1

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (\frac{u}{3})$ .

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{u}{3})) + 8 \arcsin (\frac{u}{3}) + C$

Etapa 10.2

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 3$ .

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{x - 3}{3})) + 8 \arcsin (\frac{x - 3}{3}) + C$

Etapa 11

Reordene os termos.

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{1}{3} (x - 3))) + 8 \arcsin (\frac{1}{3} (x - 3)) + C$