Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} + \frac{400}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + \frac{400}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{400}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{400}{x}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{400}{x}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{400}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $400$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{400}{x}$ em relação a $x$ é $400 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x + 400 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 x + 400 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 x + 400 (- x^{- 2})$

Etapa 1.2.4

Multiplique $- 1$ por $400$ .

$2 x - 400 x^{- 2}$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 400 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Combine $- 400$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 400}{x^{2}}$

Etapa 1.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 x - \frac{400}{x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - \frac{400}{x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{400}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{400}{x^{2}})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{400}{x^{2}})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{400}{x^{2}})$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{400}{x^{2}})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{400}{x^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 400$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{400}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $- 400 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 - 400 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 - 400 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 400 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 - 400 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 400 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 - 400 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Etapa 2.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 - 400 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 2 - 400 (- x^{- 4} (2 x))$

Etapa 2.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 - 400 (- 2 x^{- 4} x)$

Etapa 2.3.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 2 - 400 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Etapa 2.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 2 - 400 (- 2 x^{1 - 4})$

Etapa 2.3.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$f'' (x) = 2 - 400 (- 2 x^{- 3})$

Etapa 2.3.10

Multiplique $- 2$ por $- 400$ .

$f'' (x) = 2 + 800 x^{- 3}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + 800 (\frac{1}{x^{3}})$

Etapa 2.4.2

Combine $800$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{800}{x^{3}}$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{800}{x^{3}} + 2$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$2 x - \frac{400}{x^{2}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + \frac{400}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{400}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{400}{x}]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{400}{x}]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{400}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $400$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{400}{x}$ em relação a $x$ é $400 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x + 400 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 4.1.2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 x + 400 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 4.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 x + 400 (- x^{- 2})$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $400$ .

$2 x - 400 x^{- 2}$

Etapa 4.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 400 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 4.1.3.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.2.1

Combine $- 400$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 400}{x^{2}}$

Etapa 4.1.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 2 x - \frac{400}{x^{2}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x - \frac{400}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{400}{x^{2}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x - \frac{400}{x^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x - \frac{400}{x^{2}} = 0$

Etapa 5.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x^{2}, 1$

Etapa 5.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{2}$

Etapa 5.3

Multiplique cada termo em $2 x - \frac{400}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Multiplique cada termo em $2 x - \frac{400}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{400}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{400}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 5.3.2.1.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{400}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 5.3.2.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{2 + 1} - \frac{400}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 5.3.2.1.1.3

Some $2$ e $1$ .

$2 x^{3} - \frac{400}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{400}{x^{2}}$ para o numerador.

$2 x^{3} + \frac{- 400}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$2 x^{3} + \frac{- 400}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{3} - 400 = 0 x^{2}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $0$ por $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 400 = 0$

Etapa 5.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Some $400$ aos dois lados da equação.

$2 x^{3} = 400$

Etapa 5.4.2

Subtraia $400$ dos dois lados da equação.

$2 x^{3} - 400 = 0$

Etapa 5.4.3

Fatore $2$ de $2 x^{3} - 400$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Fatore $2$ de $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 400 = 0$

Etapa 5.4.3.2

Fatore $2$ de $- 400$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 200 = 0$

Etapa 5.4.3.3

Fatore $2$ de $2 x^{3} + 2 \cdot - 200$ .

$2 (x^{3} - 200) = 0$

Etapa 5.4.4

Divida cada termo em $2 (x^{3} - 200) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.1

Divida cada termo em $2 (x^{3} - 200) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x^{3} - 200)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 5.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x^{3} - 200)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 5.4.4.2.1.2

Divida $x^{3} - 200$ por $1$ .

$x^{3} - 200 = \frac{0}{2}$

Etapa 5.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x^{3} - 200 = 0$

Etapa 5.4.5

Some $200$ aos dois lados da equação.

$x^{3} = 200$

Etapa 5.4.6

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{200}$

Etapa 5.4.7

Simplifique $\sqrt[3]{200}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.7.1

Reescreva $200$ como $2^{3} \cdot 25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.7.1.1

Fatore $8$ de $200$ .

$x = \sqrt[3]{8 (25)}$

Etapa 5.4.7.1.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 25}$

Etapa 5.4.7.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = 2 \sqrt[3]{25}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{400}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 6.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 6.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 2 \sqrt[3]{25}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 2 \sqrt[3]{25}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{800}{{(2 \sqrt[3]{25})}^{3}} + 2$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt[3]{25}$ .

$\frac{800}{2^{3} {\sqrt[3]{25}}^{3}} + 2$

Etapa 9.1.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{800}{8 {\sqrt[3]{25}}^{3}} + 2$

Etapa 9.1.1.3

Reescreva ${\sqrt[3]{25}}^{3}$ como $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{25}$ como $25^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{800}{8 {(25^{\frac{1}{3}})}^{3}} + 2$

Etapa 9.1.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{800}{8 \cdot 25^{\frac{1}{3} \cdot 3}} + 2$

Etapa 9.1.1.3.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\frac{800}{8 \cdot 25^{\frac{3}{3}}} + 2$

Etapa 9.1.1.3.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{800}{8 \cdot 25^{\frac{3}{3}}} + 2$

Etapa 9.1.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{800}{8 \cdot 25^{1}} + 2$

Etapa 9.1.1.3.5

Avalie o expoente.

$\frac{800}{8 \cdot 25} + 2$

Etapa 9.1.2

Multiplique $8$ por $25$ .

$\frac{800}{200} + 2$

Etapa 9.1.3

Divida $800$ por $200$ .

$4 + 2$

Etapa 9.2

Some $4$ e $2$ .

$6$

Etapa 10

$x = 2 \sqrt[3]{25}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 2 \sqrt[3]{25}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 2 \sqrt[3]{25}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $2 \sqrt[3]{25}$ na expressão.

$f (2 \sqrt[3]{25}) = {(2 \sqrt[3]{25})}^{2} + \frac{400}{2 \sqrt[3]{25}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt[3]{25}$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 2^{2} {\sqrt[3]{25}}^{2} + \frac{400}{2 \sqrt[3]{25}}$

Etapa 11.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 4 {\sqrt[3]{25}}^{2} + \frac{400}{2 \sqrt[3]{25}}$

Etapa 11.2.1.3

Reescreva ${\sqrt[3]{25}}^{2}$ como $\sqrt[3]{25^{2}}$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 4 \sqrt[3]{25^{2}} + \frac{400}{2 \sqrt[3]{25}}$

Etapa 11.2.1.4

Eleve $25$ à potência de $2$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 4 \sqrt[3]{625} + \frac{400}{2 \sqrt[3]{25}}$

Etapa 11.2.1.5

Reescreva $625$ como $5^{3} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.5.1

Fatore $125$ de $625$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 4 \sqrt[3]{125 (5)} + \frac{400}{2 \sqrt[3]{25}}$

Etapa 11.2.1.5.2

Reescreva $125$ como $5^{3}$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 4 \sqrt[3]{5^{3} \cdot 5} + \frac{400}{2 \sqrt[3]{25}}$

Etapa 11.2.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 4 (5 \sqrt[3]{5}) + \frac{400}{2 \sqrt[3]{25}}$

Etapa 11.2.1.7

Multiplique $5$ por $4$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{400}{2 \sqrt[3]{25}}$

Etapa 11.2.1.8

Cancele o fator comum de $400$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.8.1

Fatore $2$ de $400$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{2 \cdot 200}{2 \sqrt[3]{25}}$

Etapa 11.2.1.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.8.2.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt[3]{25}$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{2 \cdot 200}{2 (\sqrt[3]{25})}$

Etapa 11.2.1.8.2.2

Cancele o fator comum.

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{2 \cdot 200}{2 \sqrt[3]{25}}$

Etapa 11.2.1.8.2.3

Reescreva a expressão.

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{200}{\sqrt[3]{25}}$

Etapa 11.2.1.9

Multiplique $\frac{200}{\sqrt[3]{25}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{25}}^{2}}{{\sqrt[3]{25}}^{2}}$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{200}{\sqrt[3]{25}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{25}}^{2}}{{\sqrt[3]{25}}^{2}}$

Etapa 11.2.1.10

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.10.1

Multiplique $\frac{200}{\sqrt[3]{25}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{25}}^{2}}{{\sqrt[3]{25}}^{2}}$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{200 {\sqrt[3]{25}}^{2}}{\sqrt[3]{25} {\sqrt[3]{25}}^{2}}$

Etapa 11.2.1.10.2

Eleve $\sqrt[3]{25}$ à potência de $1$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{200 {\sqrt[3]{25}}^{2}}{\sqrt[3]{25} {\sqrt[3]{25}}^{2}}$

Etapa 11.2.1.10.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{200 {\sqrt[3]{25}}^{2}}{{\sqrt[3]{25}}^{1 + 2}}$

Etapa 11.2.1.10.4

Some $1$ e $2$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{200 {\sqrt[3]{25}}^{2}}{{\sqrt[3]{25}}^{3}}$

Etapa 11.2.1.10.5

Reescreva ${\sqrt[3]{25}}^{3}$ como $25$ .

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Etapa 11.2.1.10.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{25}$ como $25^{\frac{1}{3}}$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{200 {\sqrt[3]{25}}^{2}}{{(25^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 11.2.1.10.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{200 {\sqrt[3]{25}}^{2}}{25^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 11.2.1.10.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{200 {\sqrt[3]{25}}^{2}}{25^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 11.2.1.10.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 11.2.1.10.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{200 {\sqrt[3]{25}}^{2}}{25^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 11.2.1.10.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{200 {\sqrt[3]{25}}^{2}}{25}$

Etapa 11.2.1.10.5.5

Avalie o expoente.

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{200 {\sqrt[3]{25}}^{2}}{25}$

Etapa 11.2.1.11

Cancele o fator comum de $200$ e $25$ .

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Etapa 11.2.1.11.1

Fatore $25$ de $200 {\sqrt[3]{25}}^{2}$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{25 (8 {\sqrt[3]{25}}^{2})}{25}$

Etapa 11.2.1.11.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.2.1.11.2.1

Fatore $25$ de $25$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{25 (8 {\sqrt[3]{25}}^{2})}{25 (1)}$

Etapa 11.2.1.11.2.2

Cancele o fator comum.

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{25 (8 {\sqrt[3]{25}}^{2})}{25 \cdot 1}$

Etapa 11.2.1.11.2.3

Reescreva a expressão.

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{8 {\sqrt[3]{25}}^{2}}{1}$

Etapa 11.2.1.11.2.4

Divida $8 {\sqrt[3]{25}}^{2}$ por $1$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + 8 {\sqrt[3]{25}}^{2}$

Etapa 11.2.1.12

Reescreva ${\sqrt[3]{25}}^{2}$ como $\sqrt[3]{25^{2}}$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + 8 \sqrt[3]{25^{2}}$

Etapa 11.2.1.13

Eleve $25$ à potência de $2$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + 8 \sqrt[3]{625}$

Etapa 11.2.1.14

Reescreva $625$ como $5^{3} \cdot 5$ .

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Etapa 11.2.1.14.1

Fatore $125$ de $625$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + 8 \sqrt[3]{125 (5)}$

Etapa 11.2.1.14.2

Reescreva $125$ como $5^{3}$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + 8 \sqrt[3]{5^{3} \cdot 5}$

Etapa 11.2.1.15

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + 8 (5 \sqrt[3]{5})$

Etapa 11.2.1.16

Multiplique $5$ por $8$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + 40 \sqrt[3]{5}$

Etapa 11.2.2

Some $20 \sqrt[3]{5}$ e $40 \sqrt[3]{5}$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 60 \sqrt[3]{5}$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $60 \sqrt[3]{5}$ .

$y = 60 \sqrt[3]{5}$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{2} + \frac{400}{x}$ .

$(2 \sqrt[3]{25}, 60 \sqrt[3]{5})$ é um mínimo local

Etapa 13