Cálculo Exemplos

$12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$

Etapa 1

Escreva $12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ como uma função.

$f (x) = 12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 \sin (2 x)$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$24 x - 12 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$24 x - 12 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.1.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$24 x - 12 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$24 x - 12 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.1.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x - 12 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$24 x - 12 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Etapa 2.1.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$24 x - 12 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Etapa 2.1.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$24 x - 12 (2 \cdot \cos (2 x))$

Etapa 2.1.3.7

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$f' (x) = 24 x - 24 \cos (2 x)$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $24 x - 24 \cos (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique $24$ por $1$ .

$24 + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 \cos (2 x)$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$24 - 24 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$24 - 24 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.2.3.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$24 - 24 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$24 - 24 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.2.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 - 24 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$24 - 24 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Etapa 2.2.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$24 - 24 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Etapa 2.2.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$24 - 24 (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 2.2.3.7

Multiplique $- 2$ por $- 24$ .

$f'' (x) = 24 + 48 \sin (2 x)$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $24 + 48 \sin (2 x)$ .

$24 + 48 \sin (2 x)$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $24 + 48 \sin (2 x) = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$24 + 48 \sin (2 x) = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $24$ dos dois lados da equação.

$48 \sin (2 x) = - 24$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $48 \sin (2 x) = - 24$ por $48$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $48 \sin (2 x) = - 24$ por $48$ .

$\frac{48 \sin (2 x)}{48} = \frac{- 24}{48}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $48$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{48 \sin (2 x)}{48} = \frac{- 24}{48}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $\sin (2 x)$ por $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 24}{48}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 24$ e $48$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Fatore $24$ de $- 24$ .

$\sin (2 x) = \frac{24 (- 1)}{48}$

Etapa 3.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.2.1

Fatore $24$ de $48$ .

$\sin (2 x) = \frac{24 \cdot - 1}{24 \cdot 2}$

Etapa 3.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\sin (2 x) = \frac{24 \cdot - 1}{24 \cdot 2}$

Etapa 3.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 3.4

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Etapa 3.5

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ é $- \frac{π}{6}$ .

$2 x = - \frac{π}{6}$

Etapa 3.6

Divida cada termo em $2 x = - \frac{π}{6}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Divida cada termo em $2 x = - \frac{π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Etapa 3.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Etapa 3.6.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Etapa 3.6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 3.6.3.2

Multiplique $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.6.3.2.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Etapa 3.7

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Etapa 3.8

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Etapa 3.8.2

O ângulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 3.8.3

Divida cada termo em $2 x = \frac{7 π}{6}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.3.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{7 π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Etapa 3.8.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Etapa 3.8.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Etapa 3.8.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 3.8.3.3.2

Multiplique $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.3.3.2.1

Multiplique $\frac{7 π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Etapa 3.8.3.3.2.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Etapa 3.9

Encontre o período de $\sin (2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.9.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 3.9.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 3.9.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 3.9.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 3.10

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1

Some $π$ com $- \frac{π}{12}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{12} + π$

Etapa 3.10.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Etapa 3.10.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.3.1

Combine $π$ e $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Etapa 3.10.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Etapa 3.10.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.4.1

Mova $12$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Etapa 3.10.4.2

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Etapa 3.10.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{11 π}{12}$

Etapa 3.11

O período da função $\sin (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $\frac{7 π}{12}$ em $f (x) = 12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{7 π}{12}$ na expressão.

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 {(\frac{7 π}{12})}^{2} - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{7 π}{12}$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{{(7 π)}^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Etapa 4.1.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{7^{2} π^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Etapa 4.1.2.1.2

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{49 π^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Etapa 4.1.2.1.3

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{49 π^{2}}{144}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Etapa 4.1.2.1.4

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.4.1

Fatore $12$ de $144$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{49 π^{2}}{12 (12)}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Etapa 4.1.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{49 π^{2}}{12 \cdot 12}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Etapa 4.1.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Etapa 4.1.2.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.5.1

Fatore $2$ de $12$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{2 (6)}))$

Etapa 4.1.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{2 \cdot 6}))$

Etapa 4.1.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 4.1.2.1.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 4.1.2.1.7

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 (- \frac{1}{2})$

Etapa 4.1.2.1.8

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.8.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 (\frac{- 1}{2})$

Etapa 4.1.2.1.8.2

Fatore $2$ de $- 12$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} + 2 (- 6) (\frac{- 1}{2})$

Etapa 4.1.2.1.8.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} + 2 \cdot (- 6 (\frac{- 1}{2}))$

Etapa 4.1.2.1.8.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 6 \cdot - 1$

Etapa 4.1.2.1.9

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} + 6$

Etapa 4.1.2.2

A resposta final é $\frac{49 π^{2}}{12} + 6$ .

$\frac{49 π^{2}}{12} + 6$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $\frac{7 π}{12}$ em $f (x) = 12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ é $(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{12} + 6)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{12} + 6)$

Etapa 4.3

Substitua $\frac{11 π}{12}$ em $f (x) = 12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{11 π}{12}$ na expressão.

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 {(\frac{11 π}{12})}^{2} - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{11 π}{12}$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{{(11 π)}^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Etapa 4.3.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $11 π$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{11^{2} π^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Etapa 4.3.2.1.2

Eleve $11$ à potência de $2$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{121 π^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Etapa 4.3.2.1.3

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{121 π^{2}}{144}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Etapa 4.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.1

Fatore $12$ de $144$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{121 π^{2}}{12 (12)}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Etapa 4.3.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{121 π^{2}}{12 \cdot 12}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Etapa 4.3.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Etapa 4.3.2.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.5.1

Fatore $2$ de $12$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{2 (6)}))$

Etapa 4.3.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{2 \cdot 6}))$

Etapa 4.3.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 \sin (\frac{11 π}{6})$

Etapa 4.3.2.1.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 4.3.2.1.7

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 (- \frac{1}{2})$

Etapa 4.3.2.1.8

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.2.1.8.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 (\frac{- 1}{2})$

Etapa 4.3.2.1.8.2

Fatore $2$ de $- 12$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} + 2 (- 6) (\frac{- 1}{2})$

Etapa 4.3.2.1.8.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} + 2 \cdot (- 6 (\frac{- 1}{2}))$

Etapa 4.3.2.1.8.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 6 \cdot - 1$

Etapa 4.3.2.1.9

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} + 6$

Etapa 4.3.2.2

A resposta final é $\frac{121 π^{2}}{12} + 6$ .

$\frac{121 π^{2}}{12} + 6$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $\frac{11 π}{12}$ em $f (x) = 12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ é $(\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{12} + 6)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{12} + 6)$

Etapa 4.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{12} + 6), (\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{12} + 6)$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, \frac{7 π}{12}) \cup (\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12}) \cup (\frac{11 π}{12}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{7 π}{12})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $1.73259571$ na expressão.

$f'' (1.73259571) = 24 + 48 \sin (2 (1.73259571))$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $2$ por $1.73259571$ .

$f'' (1.73259571) = 24 + 48 \sin (3.46519142)$

Etapa 6.2.2

A resposta final é $24 + 48 \sin (3.46519142)$ .

$24 + 48 \sin (3.46519142)$

Etapa 6.3

Em $1.73259571$ , a segunda derivada é $8.73693112$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, \frac{7 π}{12})$ .

Acréscimo em $(- \infty, \frac{7 π}{12})$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2.35619449$ na expressão.

$f'' (2.35619449) = 24 + 48 \sin (2 (2.35619449))$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $2$ por $2.35619449$ .

$f'' (2.35619449) = 24 + 48 \sin (4.71238898)$

Etapa 7.2.2

A resposta final é $24 + 48 \sin (4.71238898)$ .

$24 + 48 \sin (4.71238898)$

Etapa 7.3

Em $2.35619449$ , a segunda derivada é $- 24$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ .

Decréscimo em $(\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(\frac{11 π}{12}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $2.97979326$ na expressão.

$f'' (2.97979326) = 24 + 48 \sin (2 (2.97979326))$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $2$ por $2.97979326$ .

$f'' (2.97979326) = 24 + 48 \sin (5.95958653)$

Etapa 8.2.2

A resposta final é $24 + 48 \sin (5.95958653)$ .

$24 + 48 \sin (5.95958653)$

Etapa 8.3

Em $2.97979326$ , a segunda derivada é $8.73693112$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(\frac{11 π}{12}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{11 π}{12}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 9

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{12} + 6), (\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{12} + 6)$ .

$(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{12} + 6), (\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{12} + 6)$

Etapa 10