Cálculo Exemplos

$6 \sin (x) + \sin (2 x)$

Etapa 1

Escreva $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ como uma função.

$f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 \sin (x)$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 2.1.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.3.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$6 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Etapa 2.1.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Etapa 2.1.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ .

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Etapa 2.2.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 \cos (x)$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Etapa 2.2.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$6 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$- 6 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

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Etapa 2.2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (2 x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 6 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.2.3.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.2.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Etapa 2.2.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Etapa 2.2.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 2.2.3.7

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$ .

$- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x) = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x) = 0$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$- 6 \sin (x) - 4 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Etapa 3.2.2

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$- 6 \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x) = 0$

Etapa 3.3

Fatore $2 \sin (x)$ de $- 6 \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x)$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $2 \sin (x)$ de $- 6 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cdot - 3 - 8 \sin (x) \cos (x) = 0$

Etapa 3.3.2

Fatore $2 \sin (x)$ de $- 8 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cdot - 3 + 2 \sin (x) (- 4 \cos (x)) = 0$

Etapa 3.3.3

Fatore $2 \sin (x)$ de $2 \sin (x) \cdot - 3 + 2 \sin (x) (- 4 \cos (x))$ .

$2 \sin (x) (- 3 - 4 \cos (x)) = 0$

Etapa 3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 3 - 4 \cos (x) = 0$

Etapa 3.5

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.5.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 3.5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.5.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 3.5.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 3.5.2.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 3.5.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.5.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.5.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.5.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.5.2.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.6

Defina $- 3 - 4 \cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $- 3 - 4 \cos (x)$ como igual a $0$ .

$- 3 - 4 \cos (x) = 0$

Etapa 3.6.2

Resolva $- 3 - 4 \cos (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.6.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$- 4 \cos (x) = 3$

Etapa 3.6.2.2

Divida cada termo em $- 4 \cos (x) = 3$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 3.6.2.2.1

Divida cada termo em $- 4 \cos (x) = 3$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{3}{- 4}$

Etapa 3.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 3.6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{3}{- 4}$

Etapa 3.6.2.2.2.1.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{3}{- 4}$

Etapa 3.6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.6.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (x) = - \frac{3}{4}$

Etapa 3.6.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{3}{4})$

Etapa 3.6.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.6.2.4.1

Avalie $\arccos (- \frac{3}{4})$ .

$x = 2.4188584$

Etapa 3.6.2.5

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 2.4188584$

Etapa 3.6.2.6

Resolva $x$ .

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Etapa 3.6.2.6.1

Remova os parênteses.

$x = 2 (3.14159265) - 2.4188584$

Etapa 3.6.2.6.2

Simplifique $2 (3.14159265) - 2.4188584$ .

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Etapa 3.6.2.6.2.1

Multiplique $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.4188584$

Etapa 3.6.2.6.2.2

Subtraia $2.4188584$ de $6.2831853$ .

$x = 3.8643269$

Etapa 3.6.2.7

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.6.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.6.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.6.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.6.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.6.2.8

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $2 \sin (x) (- 3 - 4 \cos (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 π n, π + 2 π n, 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.8

Consolide $2 π n$ e $π + 2 π n$ em $π n$ .

$x = π n, 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 4.1

O ponto encontrado ao substituir em $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ é $(,)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(,)$

Etapa 4.2

Substitua $2.4188584$ em $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua a variável $x$ por $2.4188584$ na expressão.

$f (2.4188584) = 6 \sin (2.4188584) + \sin (2 (2.4188584))$

Etapa 4.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.2.1

Multiplique $2$ por $2.4188584$ .

$f (2.4188584) = 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)$

Etapa 4.2.2.2

A resposta final é $6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)$ .

$6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)$

Etapa 4.3

O ponto encontrado ao substituir $2.4188584$ em $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ é $(2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$

Etapa 4.4

Substitua $3.8643269$ em $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 4.4.1

Substitua a variável $x$ por $3.8643269$ na expressão.

$f (3.8643269) = 6 \sin (3.8643269) + \sin (2 (3.8643269))$

Etapa 4.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.4.2.1

Multiplique $2$ por $3.8643269$ .

$f (3.8643269) = 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538)$

Etapa 4.4.2.2

A resposta final é $6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538)$ .

$6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538)$

Etapa 4.5

O ponto encontrado ao substituir $3.8643269$ em $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ é $(3.8643269, 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538))$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(3.8643269, 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538))$

Etapa 4.6

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(,), (2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)), (3.8643269, 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538))$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty,) \cup (, 2.4188584) \cup (2.4188584, 3.8643269) \cup (3.8643269, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty,)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.1$ na expressão.

$f'' (- 0.1) = - 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (2 (- 0.1))$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $2$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$

Etapa 6.2.2

A resposta final é $- 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$ .

$- 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$

Etapa 6.3

Em $- 0.1$ , a segunda derivada é $1.39367782$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty,)$ .

Acréscimo em $(- \infty,)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(, 2.4188584)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1.2094292$ na expressão.

$f'' (1.2094292) = - 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2 (1.2094292))$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $2$ por $1.2094292$ .

$f'' (1.2094292) = - 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2.4188584)$

Etapa 7.2.2

A resposta final é $- 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2.4188584)$ .

$- 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2.4188584)$

Etapa 7.3

Em $1.2094292$ , a segunda derivada é $- 8.25823739$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(, 2.4188584)$ .

Decréscimo em $(, 2.4188584)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(2.4188584, 3.8643269)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $3.14159265$ na expressão.

$f'' (3.14159265) = - 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (2 (3.14159265))$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $2$ por $3.14159265$ .

$f'' (3.14159265) = - 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$

Etapa 8.2.2

A resposta final é $- 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$ .

$- 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$

Etapa 8.3

Em $3.14159265$ , a segunda derivada é $2.44929359 E - 16$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(2.4188584, 3.8643269)$ .

Acréscimo em $(2.4188584, 3.8643269)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(3.8643269, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $3.9643269$ na expressão.

$f'' (3.9643269) = - 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (2 (3.9643269))$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 9.2.1

Multiplique $2$ por $3.9643269$ .

$f'' (3.9643269) = - 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (7.9286538)$

Etapa 9.2.2

A resposta final é $- 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (7.9286538)$ .

$- 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (7.9286538)$

Etapa 9.3

Em $3.9643269$ , a segunda derivada é $0.40919742$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(3.8643269, \infty)$ .

Acréscimo em $(3.8643269, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 10

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(,), (2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$ .

$(,), (2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$

Etapa 11