Cálculo Exemplos

$\ln (x^{2} - 4 x + 29)$

Etapa 1

Escreva $\ln (x^{2} - 4 x + 29)$ como uma função.

$f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} - 4 x + 29$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 4 x + 29$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]$

Etapa 2.1.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]$

Etapa 2.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 4 x + 29$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4 x + 29$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])$

Etapa 2.1.2.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [29])$

Etapa 2.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [29])$

Etapa 2.1.2.5

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [29])$

Etapa 2.1.2.6

Como $29$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $29$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 + 0)$

Etapa 2.1.2.7

Some $2 x - 4$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4)$

Etapa 2.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4)$ .

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 29}$

Etapa 2.1.3.2

Multiplique $2 x - 4$ por $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29}$ .

$\frac{2 x - 4}{x^{2} - 4 x + 29}$

Etapa 2.1.3.3

Fatore $2$ de $2 x - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.3.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 4}{x^{2} - 4 x + 29}$

Etapa 2.1.3.3.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2}{x^{2} - 4 x + 29}$

Etapa 2.1.3.3.3

Fatore $2$ de $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 29}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 29}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 29}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 29}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 2$ e $g (x) = x^{2} - 4 x + 29$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.3.4.2

Multiplique $x^{2} - 4 x + 29$ por $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4 x + 29$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29]$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.3.7

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.3.9

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.3.10

Como $29$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $29$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 + 0)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.3.11

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.11.1

Some $2 x - 4$ e $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.3.11.2

Combine $2$ e $\frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 29 + (- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 29 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.3.1.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 29 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.3.1.2

Multiplique $2$ por $29$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 ((- x + 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.3.1.4

Expanda $(- x + 2) (2 x - 4)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.3.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- x (2 x - 4) + 2 (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.3.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.3.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.3.1.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.3.1.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.3.1.5.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.3.1.5.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.3.1.5.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.3.1.5.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.3.1.5.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.3.1.5.1.4

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.3.1.5.1.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 4 x + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.3.1.5.1.6

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 4 x - 8)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.3.1.5.2

Some $4 x$ e $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x - 8)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.3.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (8 x) + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.3.1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.3.1.7.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 - 4 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.3.1.7.2

Multiplique $8$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 - 4 x^{2} + 16 x + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.3.1.7.3

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 - 4 x^{2} + 16 x - 16}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.3.2

Subtraia $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 8 x + 58 + 16 x - 16}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.3.3

Some $- 8 x$ e $16 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x + 58 - 16}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.3.4

Subtraia $16$ de $58$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x + 42}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.4.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2} + 8 x + 42$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.4.1.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 8 x + 42}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.4.1.2

Fatore $2$ de $8 x$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 42}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.4.1.3

Fatore $2$ de $42$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.4.1.4

Fatore $2$ de $2 (- x^{2}) + 2 (4 x)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.4.1.5

Fatore $2$ de $2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (21)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.4.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.4.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 21 = - 21$ e cuja soma é $b = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.4.2.1.1

Fatore $4$ de $4 x$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 (x) + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.4.2.1.2

Reescreva $4$ como $- 3$ mais $7$

$\frac{2 (- x^{2} + (- 3 + 7) x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.4.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (- x^{2} - 3 x + 7 x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.4.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{2 ((- x^{2} - 3 x) + 7 x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.4.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{2 (x (- x - 3) - 7 (- x - 3))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.4.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 3$ .

$\frac{2 ((- x - 3) (x - 7))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

$\frac{2 (- x - 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.5

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) - 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.6

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.7

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (3)$ .

$\frac{2 (- (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.8

Reescreva $- (x + 3)$ como $- 1 (x + 3)$ .

$\frac{2 (- 1 (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(2 (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.10

Reordene os fatores em $- \frac{(2 (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 (x + 3) (x - 7) = 0$

Etapa 3.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 7 = 0$

Etapa 3.3.2

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 3.3.3

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 3.3.3.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 3.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $2 (x + 3) (x - 7) = 0$ verdadeiro.

$x = - 3, 7$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $- 3$ em $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = \ln ({(- 3)}^{2} - 4 \cdot - 3 + 29)$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f (- 3) = \ln (9 - 4 \cdot - 3 + 29)$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$f (- 3) = \ln (9 + 12 + 29)$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Some $9$ e $12$ .

$f (- 3) = \ln (21 + 29)$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $21$ e $29$ .

$f (- 3) = \ln (50)$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $\ln (50)$ .

$\ln (50)$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $- 3$ em $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ é $(- 3, \ln (50))$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 3, \ln (50))$

Etapa 4.3

Substitua $7$ em $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $7$ na expressão.

$f (7) = \ln ({(7)}^{2} - 4 \cdot 7 + 29)$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$f (7) = \ln (49 - 4 \cdot 7 + 29)$

Etapa 4.3.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $7$ .

$f (7) = \ln (49 - 28 + 29)$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Subtraia $28$ de $49$ .

$f (7) = \ln (21 + 29)$

Etapa 4.3.2.2.2

Some $21$ e $29$ .

$f (7) = \ln (50)$

Etapa 4.3.2.3

A resposta final é $\ln (50)$ .

$\ln (50)$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $7$ em $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ é $(7, \ln (50))$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(7, \ln (50))$

Etapa 4.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(- 3, \ln (50)), (7, \ln (50))$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 7) \cup (7, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 3)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 3.1$ na expressão.

$f'' (- 3.1) = - \frac{2 ((- 3.1) + 3) ((- 3.1) - 7)}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Some $- 3.1$ e $3$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2 \cdot (- 0.1 (- 3.1 - 7))}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.2.1

Multiplique $2$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{- 0.2 (- 3.1 - 7)}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2.2

Multiplique $- 0.2$ por $- 3.1 - 7$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $- 3.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{(9.61 - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{(9.61 + 12.4 + 29)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.3

Some $9.61$ e $12.4$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{(22.01 + 29)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.4

Some $22.01$ e $29$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{51.01}^{2}}$

Etapa 6.2.2.5

Eleve $51.01$ à potência de $2$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{2602.0201}$

Etapa 6.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Divida $2.02$ por $2602.0201$ .

$f'' (- 3.1) = - 1 \cdot 0.00077631$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $0.00077631$ .

$f'' (- 3.1) = - 0.00077631$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $- 0.00077631$ .

$- 0.00077631$

Etapa 6.3

Em $- 3.1$ , a segunda derivada é $- 0.00077631$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - 3)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 3)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 3, 7)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = - \frac{2 ((2) + 3) ((2) - 7)}{{({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Some $2$ e $3$ .

$f'' (2) = - \frac{2 \cdot (5 (2 - 7))}{{(2^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$f'' (2) = - \frac{10 (2 - 7)}{{(2^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.3

Subtraia $7$ de $2$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(2^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(4 - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(4 - 8 + 29)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.3

Subtraia $8$ de $4$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(- 4 + 29)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.4

Some $- 4$ e $29$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{25^{2}}$

Etapa 7.2.2.5

Eleve $25$ à potência de $2$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{625}$

Etapa 7.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Multiplique $10$ por $- 5$ .

$f'' (2) = - \frac{- 50}{625}$

Etapa 7.2.3.2

Cancele o fator comum de $- 50$ e $625$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.2.1

Fatore $25$ de $- 50$ .

$f'' (2) = - \frac{25 (- 2)}{625}$

Etapa 7.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.2.2.1

Fatore $25$ de $625$ .

$f'' (2) = - \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 25}$

Etapa 7.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (2) = - \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 25}$

Etapa 7.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (2) = - \frac{- 2}{25}$

Etapa 7.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (2) = \frac{2}{25}$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $\frac{2}{25}$ .

$\frac{2}{25}$

Etapa 7.3

Em $2$ , a segunda derivada é $0.08$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- 3, 7)$ .

Acréscimo em $(- 3, 7)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(7, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $7.1$ na expressão.

$f'' (7.1) = - \frac{2 ((7.1) + 3) ((7.1) - 7)}{{({(7.1)}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Some $7.1$ e $3$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2 \cdot (10.1 (7.1 - 7))}{{({7.1}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.2.1

Multiplique $2$ por $10.1$ .

$f'' (7.1) = - \frac{20.2 (7.1 - 7)}{{({7.1}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.2.2

Multiplique $20.2$ por $7.1 - 7$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{({7.1}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Eleve $7.1$ à potência de $2$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{(50.41 - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.2

Multiplique $- 4$ por $7.1$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{(50.41 - 28.4 + 29)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.3

Subtraia $28.4$ de $50.41$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{(22.01 + 29)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.4

Some $22.01$ e $29$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{51.01}^{2}}$

Etapa 8.2.2.5

Eleve $51.01$ à potência de $2$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{2602.0201}$

Etapa 8.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Divida $2.02$ por $2602.0201$ .

$f'' (7.1) = - 1 \cdot 0.00077631$

Etapa 8.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $0.00077631$ .

$f'' (7.1) = - 0.00077631$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $- 0.00077631$ .

$- 0.00077631$

Etapa 8.3

Em $7.1$ , a segunda derivada é $- 0.00077631$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(7, \infty)$ .

Decréscimo em $(7, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 9

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- 3, \ln (50)), (7, \ln (50))$ .

$(- 3, \ln (50)), (7, \ln (50))$

Etapa 10