Cálculo Exemplos

$f (x) = 9 \sin (x) + 9 \cos (x)$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 \sin (x) + 9 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [9 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [9 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [9 \cos (x)]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [9 \sin (x)]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 \sin (x)$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [9 \cos (x)]$

Etapa 1.1.1.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$9 \cos (x) + \frac{d}{d x} [9 \cos (x)]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [9 \cos (x)]$ .

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 \cos (x)$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$9 \cos (x) + 9 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.1.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$9 \cos (x) + 9 (- \sin (x))$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$f' (x) = 9 \cos (x) - 9 \sin (x)$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 \cos (x) - 9 \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 9 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [9 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 9 \sin (x)]$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [9 \cos (x)]$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 \cos (x)$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 9 \sin (x)]$

Etapa 1.1.2.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$9 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 9 \sin (x)]$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$- 9 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 9 \sin (x)]$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 \sin (x)]$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 9 \sin (x) - 9 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.2.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 9 \sin (x) - 9 \cos (x)$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 9 \sin (x) - 9 \cos (x)$ .

$- 9 \sin (x) - 9 \cos (x)$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 9 \sin (x) - 9 \cos (x) = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 9 \sin (x) - 9 \cos (x) = 0$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{- 9 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- 9 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.3

Separe as frações.

$\frac{- 9}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- 9 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.4

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\frac{- 9}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- 9 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.5

Divida $- 9$ por $1$ .

$- 9 \tan (x) + \frac{- 9 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.6

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 1.2.6.1

Cancele o fator comum.

$- 9 \tan (x) + \frac{- 9 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.6.2

Divida $- 9$ por $1$ .

$- 9 \tan (x) - 9 = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.7

Separe as frações.

$- 9 \tan (x) - 9 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.8

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$- 9 \tan (x) - 9 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 1.2.9

Divida $0$ por $1$ .

$- 9 \tan (x) - 9 = 0 \sec (x)$

Etapa 1.2.10

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$- 9 \tan (x) - 9 = 0$

Etapa 1.2.11

Some $9$ aos dois lados da equação.

$- 9 \tan (x) = 9$

Etapa 1.2.12

Divida cada termo em $- 9 \tan (x) = 9$ por $- 9$ e simplifique.

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Etapa 1.2.12.1

Divida cada termo em $- 9 \tan (x) = 9$ por $- 9$ .

$\frac{- 9 \tan (x)}{- 9} = \frac{9}{- 9}$

Etapa 1.2.12.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.12.2.1

Cancele o fator comum de $- 9$ .

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Etapa 1.2.12.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 9 \tan (x)}{- 9} = \frac{9}{- 9}$

Etapa 1.2.12.2.1.2

Divida $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{9}{- 9}$

Etapa 1.2.12.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.12.3.1

Divida $9$ por $- 9$ .

$\tan (x) = - 1$

Etapa 1.2.13

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Etapa 1.2.14

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.14.1

O valor exato de $\arctan (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.15

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Etapa 1.2.16

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 1.2.16.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Etapa 1.2.16.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 1.2.17

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 1.2.17.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 1.2.17.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 1.2.17.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 1.2.17.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 1.2.18

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 1.2.18.1

Some $π$ com $- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Etapa 1.2.18.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.18.3

Combine frações.

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Etapa 1.2.18.3.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.18.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 1.2.18.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.18.4.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 1.2.18.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Etapa 1.2.18.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 1.2.19

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - 9 \sin (0) - 9 \cos (0)$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f'' (0) = - 9 \cdot 0 - 9 \cos (0)$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $- 9$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 9 \cos (0)$

Etapa 4.2.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f'' (0) = 0 - 9 \cdot 1$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$f'' (0) = 0 - 9$

Etapa 4.2.2

Subtraia $9$ de $0$ .

$f'' (0) = - 9$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- 9$ .

$- 9$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, \infty)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5