Cálculo Exemplos

$y = \frac{(1 + x)}{(1 + x^{2})}$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{(1 + x)}{(1 + x^{2})}$ como uma função.

$f (x) = \frac{(1 + x)}{(1 + x^{2})}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1 + x$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.5

Multiplique $1 + x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.8

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.10

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 (1 + x) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.3

Simplifique.

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Etapa 2.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 + x^{2} + (- 2 \cdot 1 - 2 x) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 + x^{2} - 2 \cdot 1 x - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.3.1.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 x - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.3.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 x - 2 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 x - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.2

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{1 - x^{2} - 2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.3.4

Reordene os termos.

$\frac{- x^{2} - 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.5

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.6

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.7

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (2 x)$ .

$\frac{- (x^{2} + 2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.8

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.9

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x^{2} + 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.10

Reescreva $- (x^{2} + 2 x - 1)$ como $- 1 (x^{2} + 2 x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}] + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.2

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1] - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.3

Diferencie.

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Etapa 2.2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1] - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1] - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.3.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.3.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.3.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 + 0) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.3.8

Some $2 x + 2$ e $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Etapa 2.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.2.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.5.2

Fatore $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

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Etapa 2.2.5.2.1

Fatore $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2)$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2)) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.5.2.2

Fatore $x^{2} + 1$ de $- 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2)) + (x^{2} + 1) (- 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.5.2.3

Fatore $x^{2} + 1$ de $(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2)) + (x^{2} + 1) (- 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.6.1

Fatore $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.6.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.6.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.9

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.10.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.2.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.12.1

Multiplique $\frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ por $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + 0$

Etapa 2.2.12.2

Some $- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ e $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13

Simplifique.

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Etapa 2.2.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) + (- 4 x^{2} - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.13.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.13.3.1.1

Expanda $(x^{2} + 1) (2 x + 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.13.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{x^{2} (2 x + 2) + 1 (2 x + 2) - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x + 2) - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.3.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.13.3.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.3.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.13.3.1.2.2.1

Mova $x$ .

$- \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.3.1.2.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.13.3.1.2.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.3.1.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.3.1.2.2.3

Some $1$ e $2$ .

$- \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.3.1.2.3

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.3.1.2.4

Multiplique $2 x$ por $1$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.3.1.2.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.3.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.13.3.1.3.1

Mova $x$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 (x \cdot x^{2}) - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.3.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.13.3.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 (x^{1} x^{2}) - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.3.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{1 + 2} - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.3.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.3.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.13.3.1.4.1

Mova $x$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 4 (2 (x \cdot x)) - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.3.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 4 (2 x^{2}) - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.3.1.5

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 8 x^{2} - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.3.1.6

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.3.2

Subtraia $4 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$- \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 8 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.3.3

Subtraia $8 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$- \frac{- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x + 2 + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.3.4

Some $2 x$ e $4 x$ .

$- \frac{- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.4

Fatore $2$ de $- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.13.4.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{3}$ .

$- \frac{2 (- x^{3}) - 6 x^{2} + 6 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.4.2

Fatore $2$ de $- 6 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 6 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.4.3

Fatore $2$ de $6 x$ .

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.4.4

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.4.5

Fatore $2$ de $2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$- \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.4.6

Fatore $2$ de $2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (3 x)$ .

$- \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.4.7

Fatore $2$ de $2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + 2 (1)$ .

$- \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.5

Fatore $- 1$ de $- x^{3}$ .

$- \frac{2 (- (x^{3}) - 3 x^{2} + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.6

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- (x^{3}) - (3 x^{2}) + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.7

Fatore $- 1$ de $- (x^{3}) - (3 x^{2})$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.8

Fatore $- 1$ de $3 x$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 3 x) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.9

Fatore $- 1$ de $- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 3 x)$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.10

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x) - 1 (- 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.11

Fatore $- 1$ de $- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x) - 1 (- 1)$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.12

Reescreva $- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)$ como $- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)$ .

$- \frac{2 (- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.14

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.13.15

Multiplique $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Etapa 3.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Divida cada termo em $2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 3.3.1.2.1.2

Divida $x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1$ por $1$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 = \frac{0}{2}$

Etapa 3.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Etapa 3.3.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Reagrupe os termos.

$x^{3} - 1 + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Etapa 3.3.2.2

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$x^{3} - 1^{3} + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Etapa 3.3.2.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Etapa 3.3.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.4.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Etapa 3.3.2.4.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Etapa 3.3.2.5

Fatore $3 x$ de $3 x^{2} - 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.5.1

Fatore $3 x$ de $3 x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x) - 3 x = 0$

Etapa 3.3.2.5.2

Fatore $3 x$ de $- 3 x$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x) + 3 x (- 1) = 0$

Etapa 3.3.2.5.3

Fatore $3 x$ de $3 x (x) + 3 x (- 1)$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x - 1) = 0$

Etapa 3.3.2.6

Fatore $x - 1$ de $(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.6.1

Fatore $x - 1$ de $3 x (x - 1)$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (3 x) = 0$

Etapa 3.3.2.6.2

Fatore $x - 1$ de $(x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (3 x)$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1 + 3 x) = 0$

Etapa 3.3.2.7

Some $x$ e $3 x$ .

$(x - 1) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$

Etapa 3.3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Etapa 3.3.4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 3.3.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 3.3.5

Defina $x^{2} + 4 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Defina $x^{2} + 4 x + 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Etapa 3.3.5.2

Resolva $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.3.5.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 4$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.2.3.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.2.3.1.3

Subtraia $4$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.2.3.1.4

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.2.3.1.4.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.2.3.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.2.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 3.3.5.2.3.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Etapa 3.3.5.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.2.4.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.2.4.1.3

Subtraia $4$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.2.4.1.4

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.2.4.1.4.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.2.4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.2.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 3.3.5.2.4.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Etapa 3.3.5.2.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{3}$

Etapa 3.3.5.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.2.5.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.2.5.1.3

Subtraia $4$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.2.5.1.4

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.2.5.1.4.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.2.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.2.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 3.3.5.2.5.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Etapa 3.3.5.2.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{3}$

Etapa 3.3.5.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Etapa 3.3.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $1$ em $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{1 + 1}{1 + {(1)}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Remova os parênteses.

$f (1) = \frac{1 + 1}{1 + {(1)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.2

Some $1$ e $1$ .

$f (1) = \frac{2}{1 + 1^{2}}$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = \frac{2}{1 + 1}$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $1$ e $1$ .

$f (1) = \frac{2}{2}$

Etapa 4.1.2.3

Divida $2$ por $2$ .

$f (1) = 1$

Etapa 4.1.2.4

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $1$ em $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ é $(1, 1)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(1, 1)$

Etapa 4.3

Substitua $- 2 + \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 2 + \sqrt{3}$ na expressão.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 + \sqrt{3}}{1 + {(- 2 + \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Remova os parênteses.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 + \sqrt{3}}{1 + {(- 2 + \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 4.3.2.1.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + {(- 2 + \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Reescreva ${(- 2 + \sqrt{3})}^{2}$ como $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + (- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})}$

Etapa 4.3.2.2.2

Expanda $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - 2 (- 2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})}$

Etapa 4.3.2.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})}$

Etapa 4.3.2.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 4.3.2.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.3.1.1

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 4.3.2.2.3.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 4.3.2.2.3.1.3

Combine usando a regra do produto para radicais.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}$

Etapa 4.3.2.2.3.1.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}$

Etapa 4.3.2.2.3.1.5

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}$

Etapa 4.3.2.2.3.1.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}$

Etapa 4.3.2.2.3.2

Some $4$ e $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}$

Etapa 4.3.2.2.3.3

Subtraia $2 \sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 7 - 4 \sqrt{3}}$

Etapa 4.3.2.2.4

Some $1$ e $7$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique $\frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ por $\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}} \cdot \frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$

Etapa 4.3.2.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.1

Multiplique $\frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ por $\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}{(8 - 4 \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}$

Etapa 4.3.2.4.2

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}{64 + 32 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} - 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 4.3.2.4.3

Simplifique.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}{16}$

Etapa 4.3.2.4.4

Cancele o fator comum de $8 + 4 \sqrt{3}$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.4.1

Fatore $4$ de $(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{16}$

Etapa 4.3.2.4.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.4.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{4 (4)}$

Etapa 4.3.2.4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{4 \cdot 4}$

Etapa 4.3.2.4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{4}$

Etapa 4.3.2.5

Expanda $(- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}{4}$

Etapa 4.3.2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}{4}$

Etapa 4.3.2.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Etapa 4.3.2.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Etapa 4.3.2.6.1.2

Reescreva $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Etapa 4.3.2.6.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Etapa 4.3.2.6.1.4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{4}$

Etapa 4.3.2.6.1.5

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{4}$

Etapa 4.3.2.6.1.6

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{4}$

Etapa 4.3.2.6.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}{4}$

Etapa 4.3.2.6.2

Some $- 2$ e $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{4}$

Etapa 4.3.2.6.3

Some $- \sqrt{3}$ e $2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 + \sqrt{3}}{4}$

Etapa 4.3.2.7

A resposta final é $\frac{1 + \sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4}$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $- 2 + \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ é $(- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4})$

Etapa 4.5

Substitua $- 2 - \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2 - \sqrt{3}$ na expressão.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 - \sqrt{3}}{1 + {(- 2 - \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 4.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.1

Remova os parênteses.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 - \sqrt{3}}{1 + {(- 2 - \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 4.5.2.1.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + {(- 2 - \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 4.5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.1

Reescreva ${(- 2 - \sqrt{3})}^{2}$ como $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + (- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})}$

Etapa 4.5.2.2.2

Expanda $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 - 2 (- 2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3})}$

Etapa 4.5.2.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3})}$

Etapa 4.5.2.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Etapa 4.5.2.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.3.1.1

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Etapa 4.5.2.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Etapa 4.5.2.2.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Etapa 4.5.2.2.3.1.4

Multiplique $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.3.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 4.5.2.2.3.1.4.2

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 4.5.2.2.3.1.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 4.5.2.2.3.1.4.4

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 4.5.2.2.3.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 4.5.2.2.3.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 4.5.2.2.3.1.5

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.3.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.5.2.2.3.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.5.2.2.3.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.5.2.2.3.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.3.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.5.2.2.3.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}$

Etapa 4.5.2.2.3.1.5.5

Avalie o expoente.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}$

Etapa 4.5.2.2.3.2

Some $4$ e $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}$

Etapa 4.5.2.2.3.3

Some $2 \sqrt{3}$ e $2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 7 + 4 \sqrt{3}}$

Etapa 4.5.2.2.4

Some $1$ e $7$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$

Etapa 4.5.2.3

Multiplique $\frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ por $\frac{8 - 4 \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}} \cdot \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$

Etapa 4.5.2.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.4.1

Multiplique $\frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ por $\frac{8 - 4 \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}{(8 + 4 \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}$

Etapa 4.5.2.4.2

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}{64 - 32 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} - 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 4.5.2.4.3

Simplifique.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}{16}$

Etapa 4.5.2.4.4

Cancele o fator comum de $8 - 4 \sqrt{3}$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.4.4.1

Fatore $4$ de $(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{16}$

Etapa 4.5.2.4.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.4.4.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{4 (4)}$

Etapa 4.5.2.4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{4 \cdot 4}$

Etapa 4.5.2.4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}{4}$

Etapa 4.5.2.5

Expanda $(- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 (2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}{4}$

Etapa 4.5.2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}{4}$

Etapa 4.5.2.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Etapa 4.5.2.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.6.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Etapa 4.5.2.6.1.2

Multiplique $- 1 (- \sqrt{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.6.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + 1 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Etapa 4.5.2.6.1.2.2

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Etapa 4.5.2.6.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Etapa 4.5.2.6.1.4

Multiplique $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.6.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Etapa 4.5.2.6.1.4.2

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Etapa 4.5.2.6.1.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Etapa 4.5.2.6.1.4.4

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Etapa 4.5.2.6.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

Etapa 4.5.2.6.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Etapa 4.5.2.6.1.5

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.6.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Etapa 4.5.2.6.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Etapa 4.5.2.6.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Etapa 4.5.2.6.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.6.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Etapa 4.5.2.6.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}{4}$

Etapa 4.5.2.6.1.5.5

Avalie o expoente.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}{4}$

Etapa 4.5.2.6.2

Some $- 2$ e $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{4}$

Etapa 4.5.2.6.3

Subtraia $2 \sqrt{3}$ de $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 - \sqrt{3}}{4}$

Etapa 4.5.2.7

A resposta final é $\frac{1 - \sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{1 - \sqrt{3}}{4}$

Etapa 4.6

O ponto encontrado ao substituir $- 2 - \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ é $(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4})$

Etapa 4.7

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(1, 1), (- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}), (- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 2 - \sqrt{3}) \cup (- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3}) \cup (- 2 + \sqrt{3}, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 2 - \sqrt{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 3.8320508$ na expressão.

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 ({(- 3.8320508)}^{3} + 3 {(- 3.8320508)}^{2} - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 3.8320508$ à potência de $3$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 3 {(- 3.8320508)}^{2} - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $- 3.8320508$ à potência de $2$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 3 \cdot 14.68461339 - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $3$ por $14.68461339$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 44.05384017 - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $- 3.8320508$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 44.05384017 + 11.49615242 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.5

Some $- 56.2721846$ e $44.05384017$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 12.21834443 + 11.49615242 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.6

Some $- 12.21834443$ e $11.49615242$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 0.722192 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.7

Subtraia $1$ de $- 0.722192$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $- 3.8320508$ à potência de $2$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{{(14.68461339 + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $14.68461339$ e $1$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{{15.68461339}^{3}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $15.68461339$ à potência de $3$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{3858.526212}$

Etapa 6.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Multiplique $2$ por $- 1.722192$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{- 3.44438401}{3858.526212}$

Etapa 6.2.3.2

Divida $- 3.44438401$ por $3858.526212$ .

$f'' (- 3.8320508) = - 0.00089266$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $- 0.00089266$ .

$- 0.00089266$

Etapa 6.3

Em $- 3.8320508$ , a segunda derivada é $- 0.00089266$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - 2 - \sqrt{3})$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 2 - \sqrt{3})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f'' (- 2) = \frac{2 ({(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 3 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 12 - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 12 + 6 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.5

Some $- 8$ e $12$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (4 + 6 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.6

Some $4$ e $6$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (10 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.7

Subtraia $1$ de $10$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{{(4 + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $4$ e $1$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{5^{3}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{125}$

Etapa 7.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Multiplique $2$ por $9$ .

$f'' (- 2) = \frac{18}{125}$

Etapa 7.2.3.2

Divida $18$ por $125$ .

$f'' (- 2) = 0.144$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $0.144$ .

$0.144$

Etapa 7.3

Em $- 2$ , a segunda derivada é $0.144$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3})$ .

Acréscimo em $(- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3})$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $0.3660254$ na expressão.

$f'' (0.3660254) = \frac{2 ({(0.3660254)}^{3} + 3 {(0.3660254)}^{2} - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({(0.3660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $0.3660254$ à potência de $3$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 3 \cdot {0.3660254}^{2} - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 8.2.1.2

Eleve $0.3660254$ à potência de $2$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 3 \cdot 0.13397459 - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $3$ por $0.13397459$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 0.40192378 - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 8.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $0.3660254$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 0.40192378 - 1.09807621 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 8.2.1.5

Some $0.0490381$ e $0.40192378$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.45096189 - 1.09807621 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 8.2.1.6

Subtraia $1.09807621$ de $0.45096189$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (- 0.64711431 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 8.2.1.7

Subtraia $1$ de $- 0.64711431$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Eleve $0.3660254$ à potência de $2$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{{(0.13397459 + 1)}^{3}}$

Etapa 8.2.2.2

Some $0.13397459$ e $1$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{{1.13397459}^{3}}$

Etapa 8.2.2.3

Eleve $1.13397459$ à potência de $3$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{1.4581761}$

Etapa 8.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Multiplique $2$ por $- 1.64711431$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{- 3.29422863}{1.4581761}$

Etapa 8.2.3.2

Divida $- 3.29422863$ por $1.4581761$ .

$f'' (0.3660254) = - 2.2591432$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $- 2.2591432$ .

$- 2.2591432$

Etapa 8.3

Em $0.3660254$ , a segunda derivada é $- 2.2591432$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$ .

Decréscimo em $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $1.1$ na expressão.

$f'' (1.1) = \frac{2 ({(1.1)}^{3} + 3 {(1.1)}^{2} - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({(1.1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Eleve $1.1$ à potência de $3$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3 \cdot {1.1}^{2} - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.1.2

Eleve $1.1$ à potência de $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3 \cdot 1.21 - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.1.3

Multiplique $3$ por $1.21$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3.63 - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $1.1$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3.63 - 3.3 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.1.5

Some $1.331$ e $3.63$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (4.961 - 3.3 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.1.6

Subtraia $3.3$ de $4.961$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.661 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.1.7

Subtraia $1$ de $1.661$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Eleve $1.1$ à potência de $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{{(1.21 + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.2.2

Some $1.21$ e $1$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{{2.21}^{3}}$

Etapa 9.2.2.3

Eleve $2.21$ à potência de $3$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{10.793861}$

Etapa 9.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.1

Multiplique $2$ por $0.661$ .

$f'' (1.1) = \frac{1.322}{10.793861}$

Etapa 9.2.3.2

Divida $1.322$ por $10.793861$ .

$f'' (1.1) = 0.12247702$

Etapa 9.2.4

A resposta final é $0.12247702$ .

$0.12247702$

Etapa 9.3

Em $1.1$ , a segunda derivada é $0.12247702$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(1, \infty)$ .

Acréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 10

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4}), (- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}), (1, 1)$ .

$(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4}), (- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}), (1, 1)$

Etapa 11