Cálculo Exemplos

$y = \frac{2 - v^{2}}{2 + v^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ é $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ , em que $f (v) = 2 - v^{2}$ e $g (v) = 2 + v^{2}$ .

$\frac{(2 + v^{2}) \frac{d}{d v} [2 - v^{2}] - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - v^{2}$ com relação a $v$ é $\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $2$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $2$ em relação a $v$ é $0$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [- v^{2}]) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $- v^{2}$ em relação a $v$ é $- \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (0 - \frac{d}{d v} [v^{2}]) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (0 - (2 v)) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (0 - 2 v) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Subtraia $2 v$ de $0$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + v^{2}$ com relação a $v$ é $\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) (\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [v^{2}])}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 4.3

Como $2$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $2$ em relação a $v$ é $0$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [v^{2}])}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) (0 + 2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 4.5

Some $0$ e $2 v$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) - (2 - v^{2}) (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) + (- 1 \cdot 2 - - v^{2}) (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{- 4 v + v^{2} (- 2 v) - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 5.4.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 4 v - 2 v^{2} v - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 5.4.1.3

Multiplique $v^{2}$ por $v$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.3.1

Mova $v$ .

$\frac{- 4 v - 2 (v \cdot v^{2}) - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 5.4.1.3.2

Multiplique $v$ por $v^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.3.2.1

Eleve $v$ à potência de $1$ .

$\frac{- 4 v - 2 (v^{1} v^{2}) - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 5.4.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 4 v - 2 v^{1 + 2} - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 5.4.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 5.4.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 5.4.1.5

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 5.4.1.6

Multiplique $v^{2}$ por $v$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.6.1

Mova $v$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - (v \cdot v^{2}) \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 5.4.1.6.2

Multiplique $v$ por $v^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.6.2.1

Eleve $v$ à potência de $1$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - (v^{1} v^{2}) \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 5.4.1.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - v^{1 + 2} \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 5.4.1.6.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - v^{3} \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 5.4.1.7

Multiplique $- - v^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v + 1 v^{3} \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 5.4.1.7.2

Multiplique $v^{3}$ por $1$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v + v^{3} \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 5.4.1.8

Mova $2$ para a esquerda de $v^{3}$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v + 2 v^{3}}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 5.4.2

Combine os termos opostos em $- 4 v - 2 v^{3} - 4 v + 2 v^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Some $- 2 v^{3}$ e $2 v^{3}$ .

$\frac{- 4 v - 4 v + 0}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 5.4.2.2

Some $- 4 v - 4 v$ e $0$ .

$\frac{- 4 v - 4 v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 5.4.3

Subtraia $4 v$ de $- 4 v$ .

$\frac{- 8 v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 5.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8 v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$