Cálculo Exemplos

$y = 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ ; $x = 16$

Etapa 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Substitua $16$ por $x$ .

$y = 3 {(16)}^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = 3 \cdot 16^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses.

$y = 3 \cdot 16^{\frac{1}{2}} + 16^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1.2.3

Remova os parênteses.

$y = 3 {(16)}^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1.2.4

Simplifique $3 {(16)}^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y = 3 {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1.2.4.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1.2.4.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y = 3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1.2.4.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y = 3 \cdot 4^{1} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1.2.4.1.4

Avalie o expoente.

$y = 3 \cdot 4 + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1.2.4.1.5

Multiplique $3$ por $4$ .

$y = 12 + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1.2.4.1.6

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y = 12 + {(4^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1.2.4.1.7

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 12 + 4^{2 (\frac{3}{2})}$

Etapa 1.2.4.1.8

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.8.1

Cancele o fator comum.

$y = 12 + 4^{2 (\frac{3}{2})}$

Etapa 1.2.4.1.8.2

Reescreva a expressão.

$y = 12 + 4^{3}$

Etapa 1.2.4.1.9

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$y = 12 + 64$

Etapa 1.2.4.2

Some $12$ e $64$ .

$y = 76$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 16$ e $y = 76$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.2.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.2.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.2.9

Combine $3$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.2.10

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Etapa 2.3.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 2.3.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 2.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 2.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Etapa 2.3.5.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reordene os termos.

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.4.2

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.5

Avalie a derivada em $x = 16$ .

$\frac{3 {(16)}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.1.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.6.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.6.1.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.6.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \cdot 4^{1}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.6.1.1.4

Avalie o expoente.

$\frac{3 \cdot 4}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.6.1.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{12}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.6.1.3

Divida $12$ por $2$ .

$6 + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.6.1.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.4.1

Reescreva $16$ como $2^{4}$ .

$6 + \frac{3}{2 \cdot {(2^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.6.1.4.2

Multiplique os expoentes em ${(2^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 + \frac{3}{2 \cdot 2^{4 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 2.6.1.4.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.4.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$6 + \frac{3}{2 \cdot 2^{2 (2) \frac{1}{2}}}$

Etapa 2.6.1.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$6 + \frac{3}{2 \cdot 2^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}}$

Etapa 2.6.1.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$6 + \frac{3}{2 \cdot 2^{2}}$

Etapa 2.6.1.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 + \frac{3}{2^{1 + 2}}$

Etapa 2.6.1.4.4

Some $1$ e $2$ .

$6 + \frac{3}{2^{3}}$

Etapa 2.6.1.5

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$6 + \frac{3}{8}$

Etapa 2.6.2

Para escrever $6$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$6 \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{8}$

Etapa 2.6.3

Combine $6$ e $\frac{8}{8}$ .

$\frac{6 \cdot 8}{8} + \frac{3}{8}$

Etapa 2.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{6 \cdot 8 + 3}{8}$

Etapa 2.6.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.5.1

Multiplique $6$ por $8$ .

$\frac{48 + 3}{8}$

Etapa 2.6.5.2

Some $48$ e $3$ .

$\frac{51}{8}$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $\frac{51}{8}$ e um ponto determinado $(16, 76)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (76) = \frac{51}{8} \cdot (x - (16))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 76 = \frac{51}{8} \cdot (x - 16)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique $\frac{51}{8} \cdot (x - 16)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - 76 = 0 + 0 + \frac{51}{8} \cdot (x - 16)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 76 = \frac{51}{8} \cdot (x - 16)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 76 = \frac{51}{8} x + \frac{51}{8} \cdot - 16$

Etapa 3.3.1.4

Combine $\frac{51}{8}$ e $x$ .

$y - 76 = \frac{51 x}{8} + \frac{51}{8} \cdot - 16$

Etapa 3.3.1.5

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.5.1

Fatore $8$ de $- 16$ .

$y - 76 = \frac{51 x}{8} + \frac{51}{8} \cdot (8 (- 2))$

Etapa 3.3.1.5.2

Cancele o fator comum.

$y - 76 = \frac{51 x}{8} + \frac{51}{8} \cdot (8 \cdot - 2)$

Etapa 3.3.1.5.3

Reescreva a expressão.

$y - 76 = \frac{51 x}{8} + 51 \cdot - 2$

Etapa 3.3.1.6

Multiplique $51$ por $- 2$ .

$y - 76 = \frac{51 x}{8} - 102$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $76$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{51 x}{8} - 102 + 76$

Etapa 3.3.2.2

Some $- 102$ e $76$ .

$y = \frac{51 x}{8} - 26$

Etapa 3.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{51}{8} x - 26$

Etapa 4