Cálculo Exemplos

$x^{5} - 15 x^{3}$

Etapa 1

Escreva $x^{5} - 15 x^{3}$ como uma função.

$f (x) = x^{5} - 15 x^{3}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} - 15 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{3}]$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{3}]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 15 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $- 15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 15 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 15 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 15 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 x^{4} - 15 (3 x^{2})$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 15$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 45 x^{2}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $5 x^{4} - 45 x^{2}$ .

$5 x^{4} - 45 x^{2}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $5 x^{4} - 45 x^{2} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$5 x^{4} - 45 x^{2} = 0$

Etapa 3.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$5 {(x^{2})}^{2} - 45 x^{2} = 0$

Etapa 3.2.2

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$5 u^{2} - 45 u = 0$

Etapa 3.2.3

Fatore $5 u$ de $5 u^{2} - 45 u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Fatore $5 u$ de $5 u^{2}$ .

$5 u (u) - 45 u = 0$

Etapa 3.2.3.2

Fatore $5 u$ de $- 45 u$ .

$5 u (u) + 5 u (- 9) = 0$

Etapa 3.2.3.3

Fatore $5 u$ de $5 u (u) + 5 u (- 9)$ .

$5 u (u - 9) = 0$

Etapa 3.2.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$5 x^{2} (x^{2} - 9) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 9 = 0$

Etapa 3.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 3.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 3.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 3.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.5

Defina $x^{2} - 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $x^{2} - 9$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 9 = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva $x^{2} - 9 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.5.2.1

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 9$

Etapa 3.5.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{9}$

Etapa 3.5.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Etapa 3.5.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 3$

Etapa 3.5.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3$

Etapa 3.5.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3$

Etapa 3.5.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3, - 3$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $5 x^{2} (x^{2} - 9) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 3, - 3$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0, 3, - 3$ .

$0, 3, - 3$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 3)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = 5 {(- 4)}^{4} - 45 {(- 4)}^{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $4$ .

$f' (- 4) = 5 \cdot 256 - 45 {(- 4)}^{2}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $5$ por $256$ .

$f' (- 4) = 1280 - 45 {(- 4)}^{2}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f' (- 4) = 1280 - 45 \cdot 16$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 45$ por $16$ .

$f' (- 4) = 1280 - 720$

Etapa 6.2.2

Subtraia $720$ de $1280$ .

$f' (- 4) = 560$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $560$ .

$560$

Etapa 6.3

Em $x = - 4$ , a derivada é $560$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 3)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 3)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 3, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{3}{2}$ na expressão.

$f' (- \frac{3}{2}) = 5 {(- \frac{3}{2})}^{4} - 45 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 5 ({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4}) - 45 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 5 ({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}})) - 45 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 5 (1 (\frac{3^{4}}{2^{4}})) - 45 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 5 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) - 45 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 5 (\frac{81}{2^{4}}) - 45 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 5 (\frac{81}{16}) - 45 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.6

Multiplique $5 (\frac{81}{16})$ .

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Etapa 7.2.1.6.1

Combine $5$ e $\frac{81}{16}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{5 \cdot 81}{16} - 45 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.6.2

Multiplique $5$ por $81$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 45 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.7

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.7.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 45 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})$

Etapa 7.2.1.7.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 45 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Etapa 7.2.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 45 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Etapa 7.2.1.9

Multiplique $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 45 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Etapa 7.2.1.10

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 45 \frac{9}{2^{2}}$

Etapa 7.2.1.11

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 45 (\frac{9}{4})$

Etapa 7.2.1.12

Multiplique $- 45 (\frac{9}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.12.1

Combine $- 45$ e $\frac{9}{4}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{405}{16} + \frac{- 45 \cdot 9}{4}$

Etapa 7.2.1.12.2

Multiplique $- 45$ por $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{405}{16} + \frac{- 405}{4}$

Etapa 7.2.1.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - \frac{405}{4}$

Etapa 7.2.2

Para escrever $- \frac{405}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - \frac{405}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 7.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $16$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Multiplique $\frac{405}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - \frac{405 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - \frac{405 \cdot 4}{16}$

Etapa 7.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{405 - 405 \cdot 4}{16}$

Etapa 7.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.5.1

Multiplique $- 405$ por $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{405 - 1620}{16}$

Etapa 7.2.5.2

Subtraia $1620$ de $405$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 1215}{16}$

Etapa 7.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{1215}{16}$

Etapa 7.2.7

A resposta final é $- \frac{1215}{16}$ .

$- \frac{1215}{16}$

Etapa 7.3

Em $x = - \frac{3}{2}$ , a derivada é $- \frac{1215}{16}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 3, 0)$ .

Decréscimo em $(- 3, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, 3)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3}{2}$ na expressão.

$f' (\frac{3}{2}) = 5 {(\frac{3}{2})}^{4} - 45 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 5 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) - 45 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 8.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 5 (\frac{81}{2^{4}}) - 45 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 8.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 5 (\frac{81}{16}) - 45 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 8.2.1.4

Multiplique $5 (\frac{81}{16})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.4.1

Combine $5$ e $\frac{81}{16}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{5 \cdot 81}{16} - 45 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 8.2.1.4.2

Multiplique $5$ por $81$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 45 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 8.2.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 45 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Etapa 8.2.1.6

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 45 \frac{9}{2^{2}}$

Etapa 8.2.1.7

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 45 (\frac{9}{4})$

Etapa 8.2.1.8

Multiplique $- 45 (\frac{9}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.8.1

Combine $- 45$ e $\frac{9}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} + \frac{- 45 \cdot 9}{4}$

Etapa 8.2.1.8.2

Multiplique $- 45$ por $9$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} + \frac{- 405}{4}$

Etapa 8.2.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - \frac{405}{4}$

Etapa 8.2.2

Para escrever $- \frac{405}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - \frac{405}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 8.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $16$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Multiplique $\frac{405}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - \frac{405 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Etapa 8.2.3.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - \frac{405 \cdot 4}{16}$

Etapa 8.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405 - 405 \cdot 4}{16}$

Etapa 8.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.5.1

Multiplique $- 405$ por $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405 - 1620}{16}$

Etapa 8.2.5.2

Subtraia $1620$ de $405$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1215}{16}$

Etapa 8.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{16}$

Etapa 8.2.7

A resposta final é $- \frac{1215}{16}$ .

$- \frac{1215}{16}$

Etapa 8.3

Em $x = \frac{3}{2}$ , a derivada é $- \frac{1215}{16}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, 3)$ .

Decréscimo em $(0, 3)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(3, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = 5 {(4)}^{4} - 45 {(4)}^{2}$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$f' (4) = 5 \cdot 256 - 45 {(4)}^{2}$

Etapa 9.2.1.2

Multiplique $5$ por $256$ .

$f' (4) = 1280 - 45 {(4)}^{2}$

Etapa 9.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f' (4) = 1280 - 45 \cdot 16$

Etapa 9.2.1.4

Multiplique $- 45$ por $16$ .

$f' (4) = 1280 - 720$

Etapa 9.2.2

Subtraia $720$ de $1280$ .

$f' (4) = 560$

Etapa 9.2.3

A resposta final é $560$ .

$560$

Etapa 9.3

Em $x = 4$ , a derivada é $560$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(3, \infty)$ .

Acréscimo em $(3, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 10

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 3), (3, \infty)$

Decréscimo em: $(- 3, 0), (0, 3)$

Etapa 11