Cálculo Exemplos

$\log_{5} (1 + x^{2})$

Etapa 1

Escreva $\log_{5} (1 + x^{2})$ como uma função.

$f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \log_{5} (x)$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Etapa 2.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2

A derivada de $\log_{5} (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 2.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (2 x)$

Etapa 2.1.2.5

Combine frações.

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Etapa 2.1.2.5.1

Combine $2$ e $\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$ .

$\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (5)} x$

Etapa 2.1.2.5.2

Combine $\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$

Etapa 2.1.3

Simplifique.

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Etapa 2.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x}{1 \ln (5) + x^{2} \ln (5)}$

Etapa 2.1.3.2

Multiplique $\ln (5)$ por $1$ .

$\frac{2 x}{\ln (5) + x^{2} \ln (5)}$

Etapa 2.1.3.3

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$ .

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x = 0$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0$ .

$0$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = \frac{2 (- 1)}{{(- 1)}^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{{(- 1)}^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{1 \ln (5) + \ln (5)}$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $\ln (5)$ por $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (5) + \ln (5)}$

Etapa 6.2.2.3

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (5 \cdot 5)}$

Etapa 6.2.2.4

Multiplique $5$ por $5$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (25)}$

Etapa 6.2.3

Reescreva $\ln (25)$ como $\ln (5^{2})$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (5^{2})}$

Etapa 6.2.4

Expanda $\ln (5^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$f' (- 1) = \frac{- 2}{2 \ln (5)}$

Etapa 6.2.5

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 6.2.5.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \ln (5)}$

Etapa 6.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.5.2.1

Fatore $2$ de $2 \ln (5)$ .

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\ln (5))}$

Etapa 6.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \ln (5)}$

Etapa 6.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (- 1) = \frac{- 1}{\ln (5)}$

Etapa 6.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 1) = - \frac{1}{\ln (5)}$

Etapa 6.2.7

A resposta final é $- \frac{1}{\ln (5)}$ .

$- \frac{1}{\ln (5)}$

Etapa 6.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $- \frac{1}{\ln (5)}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = \frac{2 (1)}{{(1)}^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (1) = \frac{2}{1^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = \frac{2}{1 \ln (5) + \ln (5)}$

Etapa 7.2.2.2

Multiplique $\ln (5)$ por $1$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (5) + \ln (5)}$

Etapa 7.2.2.3

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (5 \cdot 5)}$

Etapa 7.2.2.4

Multiplique $5$ por $5$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (25)}$

Etapa 7.2.3

Reescreva $\ln (25)$ como $\ln (5^{2})$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (5^{2})}$

Etapa 7.2.4

Expanda $\ln (5^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$f' (1) = \frac{2}{2 \ln (5)}$

Etapa 7.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f' (1) = \frac{2}{2 \ln (5)}$

Etapa 7.2.5.2

Reescreva a expressão.

$f' (1) = \frac{1}{\ln (5)}$

Etapa 7.2.6

A resposta final é $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{1}{\ln (5)}$

Etapa 7.3

Em $x = 1$ , a derivada é $\frac{1}{\ln (5)}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(0, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, 0)$

Etapa 9