Cálculo Exemplos

$6 \cos^{4} (x)$

Etapa 1

Escreva $6 \cos^{4} (x)$ como uma função.

$f (x) = 6 \cos^{4} (x)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 \cos^{4} (x)$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$f' (x) = 6 (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 6 (4 u^{3} \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Etapa 2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$f' (x) = 6 (4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Etapa 2.1.3

Multiplique $4$ por $6$ .

$f' (x) = 24 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Etapa 2.1.4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 24 \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

Etapa 2.1.5

Multiplique $- 1$ por $24$ .

$f' (x) = - 24 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 24 \cos^{3} (x) \sin (x)$ .

$- 24 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 24 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 24 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$

Etapa 3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Etapa 3.3

Defina $\cos^{3} (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.3.1

Defina $\cos^{3} (x)$ como igual a $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

Etapa 3.3.2

Resolva $\cos^{3} (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 3.3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$\cos (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 3.3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$\cos (x) = 0$

Etapa 3.3.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 3.3.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.4.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 3.3.2.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 3.3.2.6

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 3.3.2.6.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.3.2.6.2

Combine frações.

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Etapa 3.3.2.6.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.3.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 3.3.2.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.2.6.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 3.3.2.6.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 3.3.2.7

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.3.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.3.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.3.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.3.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.3.2.8

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.4

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.4.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.4.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 3.4.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 3.4.2.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 3.4.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.4.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.4.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.4.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.4.2.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.5

A solução final são todos os valores que tornam $- 24 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.6

Consolide as respostas.

$x = \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $\frac{π n}{2}$ .

$\frac{π n}{2}$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = - 24 \cos^{3} (x) \sin (x)$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = 6 \cos^{4} (x)$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{π n}{2})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π n}{2} - 1$ na expressão.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = - 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

Etapa 6.2

A resposta final é $- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ .

$- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

Etapa 6.4

Em $x = \frac{π n}{2} - 1$ , a derivada é $- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, \frac{π n}{2})$ .

Decréscimo em $(- \infty, \frac{π n}{2})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(\frac{π n}{2}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π n}{2} + 1$ na expressão.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = - 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

Etapa 7.2

A resposta final é $- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ .

$- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

Etapa 7.3

Simplifique.

$- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

Etapa 7.4

Em $x = \frac{π n}{2} + 1$ , a derivada é $- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ . Por ser negativa, a função diminui em $(\frac{π n}{2}, \infty)$ .

Decréscimo em $(\frac{π n}{2}, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Decréscimo em: $(- \infty, \frac{π n}{2}), (\frac{π n}{2}, \infty)$

Etapa 9