Cálculo Exemplos

$\frac{4 t}{t^{2} + 1}$

Etapa 1

Escreva $\frac{4 t}{t^{2} + 1}$ como uma função.

$f (t) = \frac{4 t}{t^{2} + 1}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{4 t}{t^{2} + 1}$ em relação a $t$ é $4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = t^{2} + 1$ .

$4 \frac{(t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3

Diferencie.

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Etapa 2.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \frac{(t^{2} + 1) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.2

Multiplique $t^{2} + 1$ por $1$ .

$4 \frac{t^{2} + 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$4 \frac{t^{2} + 1 - t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 \frac{t^{2} + 1 - t (2 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.5

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$4 \frac{t^{2} + 1 - t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.3.6.1

Some $2 t$ e $0$ .

$4 \frac{t^{2} + 1 - t (2 t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 \frac{t^{2} + 1 - 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.4

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$4 \frac{t^{2} + 1 - 2 (t^{1} t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.5

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$4 \frac{t^{2} + 1 - 2 (t^{1} t^{1})}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \frac{t^{2} + 1 - 2 t^{1 + 1}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.7

Some $1$ e $1$ .

$4 \frac{t^{2} + 1 - 2 t^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.8

Subtraia $2 t^{2}$ de $t^{2}$ .

$4 \frac{- t^{2} + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.9

Combine $4$ e $\frac{- t^{2} + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- t^{2} + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.10

Simplifique.

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Etapa 2.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (- t^{2}) + 4 \cdot 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.10.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{- 4 t^{2} + 4 \cdot 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.10.2.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$f' (t) = \frac{- 4 t^{2} + 4}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (t)$ com relação a $t$ é $\frac{- 4 t^{2} + 4}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 t^{2} + 4}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{- 4 t^{2} + 4}{{(t^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{- 4 t^{2} + 4}{{(t^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$- 4 t^{2} + 4 = 0$

Etapa 3.3

Resolva a equação para $t$ .

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Etapa 3.3.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- 4 t^{2} = - 4$

Etapa 3.3.2

Divida cada termo em $- 4 t^{2} = - 4$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 3.3.2.1

Divida cada termo em $- 4 t^{2} = - 4$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 t^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 t^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Divida $t^{2}$ por $1$ .

$t^{2} = \frac{- 4}{- 4}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 4$ .

$t^{2} = 1$

Etapa 3.3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$t = \pm \sqrt{1}$

Etapa 3.3.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$t = \pm 1$

Etapa 3.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$t = 1$

Etapa 3.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$t = - 1$

Etapa 3.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$t = 1, - 1$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $1, - 1$ .

$1, - 1$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $t$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $t$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = \frac{- 4 {(- 2)}^{2} + 4}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4 \cdot 4 + 4}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 16 + 4}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.3

Some $- 16$ e $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 12}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 12}{{(4 + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $4$ e $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 12}{5^{2}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 12}{25}$

Etapa 6.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 2) = - \frac{12}{25}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $- \frac{12}{25}$ .

$- \frac{12}{25}$

Etapa 6.3

Em $t = - 2$ , a derivada é $- \frac{12}{25}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 1)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 1)$ , pois $f' (t) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 1, 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $t$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = \frac{- 4 {(0)}^{2} + 4}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = \frac{- 4 \cdot 0 + 4}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 4}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.3

Some $0$ e $4$ .

$f' (0) = \frac{4}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = \frac{4}{{(0 + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $0$ e $1$ .

$f' (0) = \frac{4}{1^{2}}$

Etapa 7.2.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (0) = \frac{4}{1}$

Etapa 7.2.3

Divida $4$ por $1$ .

$f' (0) = 4$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $4$ .

$4$

Etapa 7.3

Em $t = 0$ , a derivada é $4$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 1, 1)$ .

Acréscimo em $(- 1, 1)$ , pois $f' (t) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $t$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = \frac{- 4 {(2)}^{2} + 4}{{({(2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (2) = \frac{- 4 \cdot 4 + 4}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$f' (2) = \frac{- 16 + 4}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.3

Some $- 16$ e $4$ .

$f' (2) = \frac{- 12}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (2) = \frac{- 12}{{(4 + 1)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.2

Some $4$ e $1$ .

$f' (2) = \frac{- 12}{5^{2}}$

Etapa 8.2.2.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f' (2) = \frac{- 12}{25}$

Etapa 8.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (2) = - \frac{12}{25}$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $- \frac{12}{25}$ .

$- \frac{12}{25}$

Etapa 8.3

Em $t = 2$ , a derivada é $- \frac{12}{25}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(1, \infty)$ .

Decréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f' (t) < 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- 1, 1)$

Decréscimo em: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Etapa 10