Cálculo Exemplos

$y = \sin^{3} (\tan (5 x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sin (\tan (5 x))$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (\tan (5 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (\tan (5 x))]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (\tan (5 x))]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (\tan (5 x))$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) \frac{d}{d x} [\sin (\tan (5 x))]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \tan (5 x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\tan (5 x)$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\tan (5 x)$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (\tan (5 x)) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $5 x$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (\tan (5 x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

Etapa 3.2

A derivada de $\tan (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $\sec^{2} (u_{3})$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (\tan (5 x)) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $5 x$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (\tan (5 x)) (\sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1))$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x) \cdot 5)$

Etapa 4.3.2

Mova $5$ para a esquerda de $\cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x)$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 \cdot (\cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x)))$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reordene os fatores de $5 \cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x)$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 \sec^{2} (5 x) \cos (\tan (5 x)))$

Etapa 5.2

Reescreva $\sec (5 x)$ em termos de senos e cossenos.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 {(\frac{1}{\cos (5 x)})}^{2} \cos (\tan (5 x)))$

Etapa 5.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (5 x)}$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (5 x)} \cos (\tan (5 x)))$

Etapa 5.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 \frac{1}{\cos^{2} (5 x)} \cos (\tan (5 x)))$

Etapa 5.5

Combine $5$ e $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{\cos^{2} (5 x)} \cos (\tan (5 x)))$

Etapa 5.6

Combine $\frac{5}{\cos^{2} (5 x)}$ e $\cos (\tan (5 x))$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) \frac{5 \cos (\tan (5 x))}{\cos^{2} (5 x)}$

Etapa 5.7

Fatore $\cos (5 x)$ de $\cos^{2} (5 x)$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) \frac{5 \cos (\tan (5 x))}{\cos (5 x) \cos (5 x)}$

Etapa 5.8

Separe as frações.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{\cos (5 x)} \cdot \frac{\cos (\tan (5 x))}{\cos (5 x)})$

Etapa 5.9

Reescreva $\frac{\cos (\tan (5 x))}{\cos (5 x)}$ como um produto.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{\cos (5 x)} (\cos (\tan (5 x)) \frac{1}{\cos (5 x)}))$

Etapa 5.10

Escreva $\cos (\tan (5 x))$ como uma fração com denominador $1$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{\cos (5 x)} (\frac{\cos (\tan (5 x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (5 x)}))$

Etapa 5.11

Simplifique.

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Etapa 5.11.1

Divida $\cos (\tan (5 x))$ por $1$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{\cos (5 x)} (\cos (\tan (5 x)) \frac{1}{\cos (5 x)}))$

Etapa 5.11.2

Converta de $\frac{1}{\cos (5 x)}$ em $\sec (5 x)$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{\cos (5 x)} (\cos (\tan (5 x)) \sec (5 x)))$

Etapa 5.12

Separe as frações.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (5 x)} (\cos (\tan (5 x)) \sec (5 x)))$

Etapa 5.13

Converta de $\frac{1}{\cos (5 x)}$ em $\sec (5 x)$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{1} \sec (5 x) (\cos (\tan (5 x)) \sec (5 x)))$

Etapa 5.14

Divida $5$ por $1$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 \sec (5 x) (\cos (\tan (5 x)) \sec (5 x)))$

Etapa 5.15

Multiplique $5 \sec (5 x) (\cos (\tan (5 x)) \sec (5 x))$ .

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Etapa 5.15.1

Eleve $\sec (5 x)$ à potência de $1$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 (\sec^{1} (5 x) \sec (5 x)) \cos (\tan (5 x)))$

Etapa 5.15.2

Eleve $\sec (5 x)$ à potência de $1$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 (\sec^{1} (5 x) \sec^{1} (5 x)) \cos (\tan (5 x)))$

Etapa 5.15.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 {\sec (5 x)}^{1 + 1} \cos (\tan (5 x)))$

Etapa 5.15.4

Some $1$ e $1$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 \sec^{2} (5 x) \cos (\tan (5 x)))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $5$ por $3$ .

$15 \sin^{2} (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x) \cos (\tan (5 x))$

Etapa 6.2

Reordene os fatores de $15 \sin^{2} (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x) \cos (\tan (5 x))$ .

$15 \sec^{2} (5 x) \sin^{2} (\tan (5 x)) \cos (\tan (5 x))$

Etapa 6.3

Reescreva $\sec (5 x)$ em termos de senos e cossenos.

$15 {(\frac{1}{\cos (5 x)})}^{2} \sin^{2} (\tan (5 x)) \cos (\tan (5 x))$

Etapa 6.4

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (5 x)}$ .

$15 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (5 x)} \sin^{2} (\tan (5 x)) \cos (\tan (5 x))$

Etapa 6.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$15 \frac{1}{\cos^{2} (5 x)} \sin^{2} (\tan (5 x)) \cos (\tan (5 x))$

Etapa 6.6

Combine $15$ e $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$\frac{15}{\cos^{2} (5 x)} \sin^{2} (\tan (5 x)) \cos (\tan (5 x))$

Etapa 6.7

Combine $\frac{15}{\cos^{2} (5 x)}$ e $\sin^{2} (\tan (5 x))$ .

$\frac{15 \sin^{2} (\tan (5 x))}{\cos^{2} (5 x)} \cos (\tan (5 x))$

Etapa 6.8

Combine $\frac{15 \sin^{2} (\tan (5 x))}{\cos^{2} (5 x)}$ e $\cos (\tan (5 x))$ .

$\frac{15 \sin^{2} (\tan (5 x)) \cos (\tan (5 x))}{\cos^{2} (5 x)}$

Etapa 6.9

Multiplique por $1$ .

$\frac{15 (\sin^{2} (\tan (5 x)) \cdot 1) \cos (\tan (5 x))}{\cos^{2} (5 x)}$

Etapa 6.10

Multiplique por $1$ .

$\frac{15 (\sin^{2} (\tan (5 x)) \cdot 1) \cos (\tan (5 x))}{\cos^{2} (5 x) \cdot 1}$

Etapa 6.11

Separe as frações.

$\frac{15 \cdot (1) \cos (\tan (5 x))}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (\tan (5 x))}{\cos^{2} (5 x)}$

Etapa 6.12

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ em $\sec^{2} (5 x)$ .

$\frac{15 \cdot (1) \cos (\tan (5 x))}{1} (\sin^{2} (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x))$

Etapa 6.13

Multiplique $15$ por $1$ .

$\frac{15 \cos (\tan (5 x))}{1} (\sin^{2} (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x))$

Etapa 6.14

Divida $15 \cos (\tan (5 x))$ por $1$ .

$15 \cos (\tan (5 x)) \sin^{2} (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x)$