Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{6 + \sec (π x^{2})}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6 + \sec (π x^{2})}$ como ${(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 6 + \sec (π x^{2})$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $6 + \sec (π x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $6 + \sec (π x^{2})$ .

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

Etapa 7

Diferencie.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

Etapa 7.2

Combine frações.

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Etapa 7.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(6 + \sec (π x^{2}))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(6 + \sec (π x^{2}))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

Etapa 7.2.2

Mova ${(6 + \sec (π x^{2}))}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

Etapa 7.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 + \sec (π x^{2})$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\sec (π x^{2})]$ .

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\sec (π x^{2})])$

Etapa 7.4

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [\sec (π x^{2})])$

Etapa 7.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\sec (π x^{2})]$ .

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sec (π x^{2})]$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = π x^{2}$ .

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Etapa 8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $π x^{2}$ .

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x^{2}])$

Etapa 8.2

A derivada de $\sec (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x^{2}])$

Etapa 8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $π x^{2}$ .

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (\sec (π x^{2}) \tan (π x^{2}) \frac{d}{d x} [π x^{2}])$

Etapa 9

Diferencie.

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Etapa 9.1

Combine $\sec (π x^{2})$ e $\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (\tan (π x^{2}) \frac{d}{d x} [π x^{2}])$

Etapa 9.2

Combine $\tan (π x^{2})$ e $\frac{\sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [π x^{2}]$

Etapa 9.3

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π x^{2}$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (π \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 9.4

Combine $π$ e $\frac{\tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{π (\tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}))}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 9.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Etapa 9.6

Simplifique os termos.

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Etapa 9.6.1

Combine $2$ e $\frac{π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 (π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}))}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} x$

Etapa 9.6.2

Combine $\frac{2 (π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}))}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 (π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})) x}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.6.3

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}) x}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.6.4

Reescreva a expressão.

$\frac{π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}) x}{{(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Reordene os fatores em $π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}) x$ .

$\frac{π x \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{{(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.2

Reordene os termos.

$\frac{π x \sec (π x^{2}) \tan (π x^{2})}{{(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$