Cálculo Exemplos

$\frac{d^{3}}{d x^{3}} \sin^{3} (x)$

Etapa 1

Não foi possível concluir esta derivada usando a regra da cadeia. O Mathway usará outro método.

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \sin^{2} (x) \cos (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin^{2} (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$3 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Etapa 3.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$3 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Etapa 3.4

Multiplique $\sin^{2} (x)$ por $\sin (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1

Mova $\sin (x)$ .

$3 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Etapa 3.4.2

Multiplique $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ .

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Etapa 3.4.2.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$3 (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Etapa 3.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Etapa 3.4.3

Some $1$ e $2$ .

$3 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Etapa 3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $\sin^{3} (x)$ .

$3 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Etapa 3.5.2

Reescreva $- 1 \sin^{3} (x)$ como $- \sin^{3} (x)$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Etapa 3.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Etapa 3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Etapa 3.7

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (x)$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cdot \cos (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.8

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x))$

Etapa 3.9

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos (x)) \sin (x))$

Etapa 3.10

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) \sin (x))$

Etapa 3.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x))$

Etapa 3.12

Some $1$ e $1$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Etapa 3.13

Simplifique.

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Etapa 3.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (- \sin^{3} (x)) + 3 (2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Etapa 3.13.2

Combine os termos.

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Etapa 3.13.2.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 \sin^{3} (x) + 3 (2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Etapa 3.13.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$- 3 \sin^{3} (x) + 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Etapa 3.13.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin^{3} (x)$

Etapa 4

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin^{3} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 \cos^{2} (x) \sin (x)$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos^{2} (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$6 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Etapa 4.2.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Etapa 4.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 4.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (x)$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Etapa 4.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Etapa 4.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (x)$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Etapa 4.2.5

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Etapa 4.2.6

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.6.1

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ .

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Etapa 4.2.6.1.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Etapa 4.2.6.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 ({\cos (x)}^{2 + 1} + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Etapa 4.2.6.2

Some $2$ e $1$ .

$6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Etapa 4.2.7

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (- 2 \cos (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Etapa 4.2.8

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Etapa 4.2.9

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Etapa 4.2.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Etapa 4.2.11

Some $1$ e $1$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Etapa 4.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$ .

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Etapa 4.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 \sin^{3} (x)$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 4.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 4.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 4.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (x)$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 4.3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 (3 \sin^{2} (x) \cos (x))$

Etapa 4.3.4

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Etapa 4.4

Simplifique.

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Etapa 4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 \cos^{3} (x) + 6 (- 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Etapa 4.4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.4.2.1

Multiplique $- 2$ por $6$ .

$6 \cos^{3} (x) - 12 (\cos (x) \sin^{2} (x)) - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Etapa 4.4.2.2

Reordene os fatores de $- 12 \cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$6 \cos^{3} (x) - 12 \sin^{2} (x) \cos (x) - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Etapa 4.4.2.3

Subtraia $9 \sin^{2} (x) \cos (x)$ de $- 12 \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

$6 \cos^{3} (x) - 21 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Etapa 4.4.3

Reordene os termos.

$f''' (x) = - 21 \sin^{2} (x) \cos (x) + 6 \cos^{3} (x)$