Cálculo Exemplos

$y = 1 - x^{2}$ , $y = 29 - 11 x$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$1 - x^{2} = 29 - 11 x$

Etapa 1.2

Resolva $1 - x^{2} = 29 - 11 x$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Some $11 x$ aos dois lados da equação.

$1 - x^{2} + 11 x = 29$

Etapa 1.2.2

Subtraia $29$ dos dois lados da equação.

$1 - x^{2} + 11 x - 29 = 0$

Etapa 1.2.3

Subtraia $29$ de $1$ .

$- x^{2} + 11 x - 28 = 0$

Etapa 1.2.4

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2} + 11 x - 28$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 11 x - 28 = 0$

Etapa 1.2.4.1.2

Fatore $- 1$ de $11 x$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 28 = 0$

Etapa 1.2.4.1.3

Reescreva $- 28$ como $- 1 (28)$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Etapa 1.2.4.1.4

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 11 x)$ .

$- (x^{2} - 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Etapa 1.2.4.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - 11 x) - 1 (28)$ .

$- (x^{2} - 11 x + 28) = 0$

Etapa 1.2.4.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Fatore $x^{2} - 11 x + 28$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $28$ e cuja soma é $- 11$ .

$- 7, - 4 + y = 29 - 11 x$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((x - 7) (x - 4)) = 0$

Etapa 1.2.4.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 7) (x - 4) = 0$

Etapa 1.2.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 4 = 0 + y = 29 - 11 x$

Etapa 1.2.6

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 1.2.7

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 1.2.7.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 1.2.8

A solução final são todos os valores que tornam $- (x - 7) (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 7, 4$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $7$ por $x$ .

$y = 29 - 11 \cdot 7$

Etapa 1.3.2

Substitua $7$ por $x$ em $y = 29 - 11 \cdot 7$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 29 - 11 \cdot 7$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique $29 - 11 \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Multiplique $- 11$ por $7$ .

$y = 29 - 77$

Etapa 1.3.2.2.2

Subtraia $77$ de $29$ .

$y = - 48$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $4$ por $x$ .

$y = 29 - 11 \cdot 4$

Etapa 1.4.2

Substitua $4$ por $x$ em $y = 29 - 11 \cdot 4$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$y = 29 - 11 \cdot 4$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique $29 - 11 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Multiplique $- 11$ por $4$ .

$y = 29 - 44$

Etapa 1.4.2.2.2

Subtraia $44$ de $29$ .

$y = - 15$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(7, - 48)$

$(4, - 15)$

$(7, - 48)$

$(4, - 15)$

Etapa 2

Reordene $1$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 1$

Etapa 3

Reordene $29$ e $- 11 x$ .

$y = - 11 x + 29$

Etapa 4

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{4}^{7} - x^{2} + 1 d x - \int_{4}^{7} - 11 x + 29 d x$

Etapa 5

Integre para encontrar a área entre $4$ e $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{4}^{7} - x^{2} + 1 - (- 11 x + 29) d x$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{2} + 1 - (- 11 x) - 1 \cdot 29$

Etapa 5.2.2

Multiplique $- 11$ por $- 1$ .

$- x^{2} + 1 + 11 x - 1 \cdot 29$

Etapa 5.2.3

Multiplique $- 1$ por $29$ .

$- x^{2} + 1 + 11 x - 29$

$\int_{4}^{7} - x^{2} + 1 + 11 x - 29 d x$

Etapa 5.3

Subtraia $29$ de $1$ .

$\int_{4}^{7} - x^{2} + 11 x - 28 d x$

Etapa 5.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{4}^{7} - x^{2} d x + \int_{4}^{7} 11 x d x + \int_{4}^{7} - 28 d x$

Etapa 5.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{4}^{7} x^{2} d x + \int_{4}^{7} 11 x d x + \int_{4}^{7} - 28 d x$

Etapa 5.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{4}^{7}) + \int_{4}^{7} 11 x d x + \int_{4}^{7} - 28 d x$

Etapa 5.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{4}^{7}) + \int_{4}^{7} 11 x d x + \int_{4}^{7} - 28 d x$

Etapa 5.8

Como $11$ é constante com relação a $x$ , mova $11$ para fora da integral.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{4}^{7}) + 11 \int_{4}^{7} x d x + \int_{4}^{7} - 28 d x$

Etapa 5.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{4}^{7}) + 11 (\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{7}) + \int_{4}^{7} - 28 d x$

Etapa 5.10

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{4}^{7}) + 11 (\frac{x^{2}}{2}]_{4}^{7}) + \int_{4}^{7} - 28 d x$

Etapa 5.11

Aplique a regra da constante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{4}^{7}) + 11 (\frac{x^{2}}{2}]_{4}^{7}) + - 28 x]_{4}^{7}$

Etapa 5.12

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $7$ e em $4$ .

$- ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{4^{3}}{3}) + 11 (\frac{x^{2}}{2}]_{4}^{7}) + - 28 x]_{4}^{7}$

Etapa 5.12.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $7$ e em $4$ .

$- (\frac{7^{3}}{3} - \frac{4^{3}}{3}) + 11 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{4^{2}}{2}) + - 28 x]_{4}^{7}$

Etapa 5.12.3

Avalie $- 28 x$ em $7$ e em $4$ .

$- (\frac{7^{3}}{3} - \frac{4^{3}}{3}) + 11 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{4^{2}}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.4.1

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$- (\frac{343}{3} - \frac{4^{3}}{3}) + 11 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{4^{2}}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.2

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$- (\frac{343}{3} - \frac{64}{3}) + 11 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{4^{2}}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{343 - 64}{3} + 11 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{4^{2}}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.4

Subtraia $64$ de $343$ .

$- \frac{279}{3} + 11 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{4^{2}}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.5

Cancele o fator comum de $279$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.4.5.1

Fatore $3$ de $279$ .

$- \frac{3 \cdot 93}{3} + 11 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{4^{2}}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.4.5.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- \frac{3 \cdot 93}{3 (1)} + 11 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{4^{2}}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.5.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{3 \cdot 93}{3 \cdot 1} + 11 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{4^{2}}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.5.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{93}{1} + 11 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{4^{2}}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.5.2.4

Divida $93$ por $1$ .

$- 1 \cdot 93 + 11 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{4^{2}}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.6

Multiplique $- 1$ por $93$ .

$- 93 + 11 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{4^{2}}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.7

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$- 93 + 11 (\frac{49}{2} - \frac{4^{2}}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.8

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$- 93 + 11 (\frac{49}{2} - \frac{16}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.9

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.4.9.1

Fatore $2$ de $16$ .

$- 93 + 11 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.4.9.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- 93 + 11 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.9.2.2

Cancele o fator comum.

$- 93 + 11 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.9.2.3

Reescreva a expressão.

$- 93 + 11 (\frac{49}{2} - \frac{8}{1}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.9.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$- 93 + 11 (\frac{49}{2} - 1 \cdot 8) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.10

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 93 + 11 (\frac{49}{2} - 8) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.11

Para escrever $- 8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 93 + 11 (\frac{49}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.12

Combine $- 8$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 93 + 11 (\frac{49}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 93 + 11 \frac{49 - 8 \cdot 2}{2} + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.14

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.4.14.1

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$- 93 + 11 \frac{49 - 16}{2} + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.14.2

Subtraia $16$ de $49$ .

$- 93 + 11 (\frac{33}{2}) + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.15

Combine $11$ e $\frac{33}{2}$ .

$- 93 + \frac{11 \cdot 33}{2} + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.16

Multiplique $11$ por $33$ .

$- 93 + \frac{363}{2} + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.17

Para escrever $- 93$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 93 \cdot \frac{2}{2} + \frac{363}{2} + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.18

Combine $- 93$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 93 \cdot 2}{2} + \frac{363}{2} + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 93 \cdot 2 + 363}{2} + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.20

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.4.20.1

Multiplique $- 93$ por $2$ .

$\frac{- 186 + 363}{2} + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.20.2

Some $- 186$ e $363$ .

$\frac{177}{2} + (- 28 \cdot 7) + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.21

Multiplique $- 28$ por $7$ .

$\frac{177}{2} - 196 + 28 \cdot 4$

Etapa 5.12.4.22

Multiplique $28$ por $4$ .

$\frac{177}{2} - 196 + 112$

Etapa 5.12.4.23

Some $- 196$ e $112$ .

$\frac{177}{2} - 84$

Etapa 5.12.4.24

Para escrever $- 84$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{177}{2} - 84 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 5.12.4.25

Combine $- 84$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{177}{2} + \frac{- 84 \cdot 2}{2}$

Etapa 5.12.4.26

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{177 - 84 \cdot 2}{2}$

Etapa 5.12.4.27

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.4.27.1

Multiplique $- 84$ por $2$ .

$\frac{177 - 168}{2}$

Etapa 5.12.4.27.2

Subtraia $168$ de $177$ .

$\frac{9}{2}$

Etapa 6