Cálculo Exemplos

$y = x^{2} - 12 x - 51$ , $y = 3 - x^{2}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{2} - 12 x - 51 = 3 - x^{2}$

Etapa 1.2

Resolva $x^{2} - 12 x - 51 = 3 - x^{2}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Some $x^{2}$ aos dois lados da equação.

$x^{2} - 12 x - 51 + x^{2} = 3$

Etapa 1.2.1.2

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 12 x - 51 = 3$

Etapa 1.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} - 12 x - 51 - 3 = 0$

Etapa 1.2.3

Subtraia $3$ de $- 51$ .

$2 x^{2} - 12 x - 54 = 0$

Etapa 1.2.4

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} - 12 x - 54$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 12 x - 54 = 0$

Etapa 1.2.4.1.2

Fatore $2$ de $- 12 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- 6 x) - 54 = 0$

Etapa 1.2.4.1.3

Fatore $2$ de $- 54$ .

$2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 27 = 0$

Etapa 1.2.4.1.4

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2 (- 6 x)$ .

$2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 27 = 0$

Etapa 1.2.4.1.5

Fatore $2$ de $2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 27$ .

$2 (x^{2} - 6 x - 27) = 0$

Etapa 1.2.4.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Fatore $x^{2} - 6 x - 27$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 27$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 9, 3 + y = 3 - x^{2}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$2 ((x - 9) (x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.4.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (x - 9) (x + 3) = 0$

Etapa 1.2.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

$x + 3 = 0 + y = 3 - x^{2}$

Etapa 1.2.6

Defina $x - 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $x - 9$ como igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x = 9$

Etapa 1.2.7

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 1.2.7.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 1.2.8

A solução final são todos os valores que tornam $2 (x - 9) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 9, - 3$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $9$ por $x$ .

$y = 3 - {(9)}^{2}$

Etapa 1.3.2

Substitua $9$ por $x$ em $y = 3 - {(9)}^{2}$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 3 - 9^{2}$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique $3 - 9^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$y = 3 - 1 \cdot 81$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $81$ .

$y = 3 - 81$

Etapa 1.3.2.2.2

Subtraia $81$ de $3$ .

$y = - 78$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $- 3$ por $x$ .

$y = 3 - {(- 3)}^{2}$

Etapa 1.4.2

Simplifique $3 - {(- 3)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$y = 3 - 1 \cdot 9$

Etapa 1.4.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$y = 3 - 9$

Etapa 1.4.2.2

Subtraia $9$ de $3$ .

$y = - 6$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(9, - 78)$

$(- 3, - 6)$

$(9, - 78)$

$(- 3, - 6)$

Etapa 2

Reordene $3$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 3$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 3}^{9} - x^{2} + 3 d x - \int_{- 3}^{9} x^{2} - 12 x - 51 d x$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $- 3$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 3}^{9} - x^{2} + 3 - (x^{2} - 12 x - 51) d x$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{2} + 3 - x^{2} - (- 12 x) - - 51$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Multiplique $- 12$ por $- 1$ .

$- x^{2} + 3 - x^{2} + 12 x - - 51$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 51$ .

$- x^{2} + 3 - x^{2} + 12 x + 51$

$\int_{- 3}^{9} - x^{2} + 3 - x^{2} + 12 x + 51 d x$

Etapa 4.3

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Subtraia $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 3 + 12 x + 51$

Etapa 4.3.2

Some $3$ e $51$ .

$- 2 x^{2} + 12 x + 54$

$\int_{- 3}^{9} - 2 x^{2} + 12 x + 54 d x$

Etapa 4.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 3}^{9} - 2 x^{2} d x + \int_{- 3}^{9} 12 x d x + \int_{- 3}^{9} 54 d x$

Etapa 4.5

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$- 2 \int_{- 3}^{9} x^{2} d x + \int_{- 3}^{9} 12 x d x + \int_{- 3}^{9} 54 d x$

Etapa 4.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{9}) + \int_{- 3}^{9} 12 x d x + \int_{- 3}^{9} 54 d x$

Etapa 4.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{9}) + \int_{- 3}^{9} 12 x d x + \int_{- 3}^{9} 54 d x$

Etapa 4.8

Como $12$ é constante com relação a $x$ , mova $12$ para fora da integral.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{9}) + 12 \int_{- 3}^{9} x d x + \int_{- 3}^{9} 54 d x$

Etapa 4.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{9}) + 12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{9}) + \int_{- 3}^{9} 54 d x$

Etapa 4.10

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{9}) + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{9}) + \int_{- 3}^{9} 54 d x$

Etapa 4.11

Aplique a regra da constante.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{9}) + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{9}) + 54 x]_{- 3}^{9}$

Etapa 4.12

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $9$ e em $- 3$ .

$- 2 ((\frac{9^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{9}) + 54 x]_{- 3}^{9}$

Etapa 4.12.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $9$ e em $- 3$ .

$- 2 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 54 x]_{- 3}^{9}$

Etapa 4.12.3

Avalie $54 x$ em $9$ e em $- 3$ .

$- 2 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.1

Eleve $9$ à potência de $3$ .

$- 2 (\frac{729}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.2

Cancele o fator comum de $729$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.2.1

Fatore $3$ de $729$ .

$- 2 (\frac{3 \cdot 243}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- 2 (\frac{3 \cdot 243}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- 2 (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- 2 (\frac{243}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.2.2.4

Divida $243$ por $1$ .

$- 2 (243 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.3

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$- 2 (243 - \frac{- 27}{3}) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.4

Cancele o fator comum de $- 27$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.4.1

Fatore $3$ de $- 27$ .

$- 2 (243 - \frac{3 \cdot - 9}{3}) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.4.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- 2 (243 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$- 2 (243 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$- 2 (243 - \frac{- 9}{1}) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.4.2.4

Divida $- 9$ por $1$ .

$- 2 (243 - - 9) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.5

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$- 2 (243 + 9) + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.6

Some $243$ e $9$ .

$- 2 \cdot 252 + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.7

Multiplique $- 2$ por $252$ .

$- 504 + 12 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.8

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$- 504 + 12 (\frac{81}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.9

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$- 504 + 12 (\frac{81}{2} - \frac{9}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 504 + 12 \frac{81 - 9}{2} + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.11

Subtraia $9$ de $81$ .

$- 504 + 12 (\frac{72}{2}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.12

Cancele o fator comum de $72$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.12.1

Fatore $2$ de $72$ .

$- 504 + 12 \frac{2 \cdot 36}{2} + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.12.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.12.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- 504 + 12 \frac{2 \cdot 36}{2 (1)} + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.12.2.2

Cancele o fator comum.

$- 504 + 12 \frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 1} + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.12.2.3

Reescreva a expressão.

$- 504 + 12 (\frac{36}{1}) + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.12.2.4

Divida $36$ por $1$ .

$- 504 + 12 \cdot 36 + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.13

Multiplique $12$ por $36$ .

$- 504 + 432 + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.14

Some $- 504$ e $432$ .

$- 72 + (54 \cdot 9) - 54 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.15

Multiplique $54$ por $9$ .

$- 72 + 486 - 54 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.16

Multiplique $- 54$ por $- 3$ .

$- 72 + 486 + 162$

Etapa 4.12.4.17

Some $486$ e $162$ .

$- 72 + 648$

Etapa 4.12.4.18

Some $- 72$ e $648$ .

$576$

Etapa 5