Cálculo Exemplos

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

Como $\frac{1}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{5} x^{5}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.2.3

Combine $5$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.2.4

Combine $\frac{5}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.2.5

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.2.5.2

Divida $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Como $\frac{7}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{7}{2} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.3.3

Combine $4$ e $\frac{7}{2}$ .

$x^{4} + \frac{4 \cdot 7}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.3.4

Multiplique $4$ por $7$ .

$x^{4} + \frac{28}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.3.5

Combine $\frac{28}{2}$ e $x^{3}$ .

$x^{4} + \frac{28 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.3.6

Cancele o fator comum de $28$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.6.1

Fatore $2$ de $28 x^{3}$ .

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{4} + \frac{14 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.3.6.2.4

Divida $14 x^{3}$ por $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Como $\frac{71}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{71}{3} x^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.4.3

Combine $3$ e $\frac{71}{3}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 \cdot 71}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.4.4

Multiplique $3$ por $71$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.4.5

Combine $\frac{213}{3}$ e $x^{2}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.4.6

Cancele o fator comum de $213$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.6.1

Fatore $3$ de $213 x^{2}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.4.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.6.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.4.6.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.4.6.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.4.6.2.4

Divida $71 x^{2}$ por $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [77 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.5.1

Como $77$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $77 x^{2}$ em relação a $x$ é $77 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 (2 x) + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.5.3

Multiplique $2$ por $77$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.1.6

Avalie $\frac{d}{d x} [120 x]$ .

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Etapa 2.1.1.6.1

Como $120$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $120 x$ em relação a $x$ é $120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.1.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \cdot 1$

Etapa 2.1.1.6.3

Multiplique $120$ por $1$ .

$f' (x) = x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Etapa 2.1.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Etapa 2.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [14 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Como $14$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $14 x^{3}$ em relação a $x$ é $14 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 14 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} + 14 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Etapa 2.1.2.2.3

Multiplique $3$ por $14$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Etapa 2.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [71 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.2.3.1

Como $71$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $71 x^{2}$ em relação a $x$ é $71 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 71 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Etapa 2.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 71 (2 x) + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Etapa 2.1.2.3.3

Multiplique $2$ por $71$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Etapa 2.1.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [154 x]$ .

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Etapa 2.1.2.4.1

Como $154$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $154 x$ em relação a $x$ é $154 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [120]$

Etapa 2.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [120]$

Etapa 2.1.2.4.3

Multiplique $154$ por $1$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 + \frac{d}{d x} [120]$

Etapa 2.1.2.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.2.5.1

Como $120$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $120$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 + 0$

Etapa 2.1.2.5.2

Some $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $2$ de $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$2 (2 x^{3}) + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$

Etapa 2.2.2.1.2

Fatore $2$ de $42 x^{2}$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 142 x + 154 = 0$

Etapa 2.2.2.1.3

Fatore $2$ de $142 x$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (71 x) + 154 = 0$

Etapa 2.2.2.1.4

Fatore $2$ de $154$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (71 x) + 2 (77) = 0$

Etapa 2.2.2.1.5

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2})$ .

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (71 x) + 2 (77) = 0$

Etapa 2.2.2.1.6

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (71 x)$ .

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x) + 2 (77) = 0$

Etapa 2.2.2.1.7

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x) + 2 (77)$ .

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.2.2.1

Fatore $2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.2.2.2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 2.2.2.2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 77, \pm 38.5, \pm 7, \pm 3.5, \pm 11, \pm 5.5$

Etapa 2.2.2.2.1.3

Substitua $- 3.5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 3.5$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.2.2.2.1.3.1

Substitua $- 3.5$ no polinômio.

$2 {(- 3.5)}^{3} + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Etapa 2.2.2.2.1.3.2

Eleve $- 3.5$ à potência de $3$ .

$2 \cdot - 42.875 + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Etapa 2.2.2.2.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 42.875$ .

$- 85.75 + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Etapa 2.2.2.2.1.3.4

Eleve $- 3.5$ à potência de $2$ .

$- 85.75 + 21 \cdot 12.25 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Etapa 2.2.2.2.1.3.5

Multiplique $21$ por $12.25$ .

$- 85.75 + 257.25 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Etapa 2.2.2.2.1.3.6

Some $- 85.75$ e $257.25$ .

$171.5 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Etapa 2.2.2.2.1.3.7

Multiplique $71$ por $- 3.5$ .

$171.5 - 248.5 + 77$

Etapa 2.2.2.2.1.3.8

Subtraia $248.5$ de $171.5$ .

$- 77 + 77$

Etapa 2.2.2.2.1.3.9

Some $- 77$ e $77$ .

$0$

Etapa 2.2.2.2.1.4

Como $- 3.5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $2 x + 7$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77}{2 x + 7}$

Etapa 2.2.2.2.1.5

Divida $2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ por $2 x + 7$ .

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Etapa 2.2.2.2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$7$

$2 x^{3}$

$21 x^{2}$

$71 x$

$77$

Etapa 2.2.2.2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$

Etapa 2.2.2.2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			+	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Etapa 2.2.2.2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} + 7 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Etapa 2.2.2.2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$

Etapa 2.2.2.2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$

Etapa 2.2.2.2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $14 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$

Etapa 2.2.2.2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					+	$14 x^{2}$	+	$49 x$

Etapa 2.2.2.2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $14 x^{2} + 49 x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$

Etapa 2.2.2.2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$

Etapa 2.2.2.2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$

Etapa 2.2.2.2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $22 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$

Etapa 2.2.2.2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							+	$22 x$	+	$77$

Etapa 2.2.2.2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $22 x + 77$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							-	$22 x$	-	$77$

Etapa 2.2.2.2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							-	$22 x$	-	$77$
										$0$

Etapa 2.2.2.2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + 7 x + 11$

Etapa 2.2.2.2.1.6

Escreva $2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ como um conjunto de fatores.

$2 ((2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11)) = 0$

Etapa 2.2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11) = 0$

Etapa 2.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x + 7 = 0$

$x^{2} + 7 x + 11 = 0$

Etapa 2.2.4

Defina $2 x + 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Defina $2 x + 7$ como igual a $0$ .

$2 x + 7 = 0$

Etapa 2.2.4.2

Resolva $2 x + 7 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.1

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 7$

Etapa 2.2.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 7$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 7$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Etapa 2.2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Etapa 2.2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 7}{2}$

Etapa 2.2.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{7}{2}$

Etapa 2.2.5

Defina $x^{2} + 7 x + 11$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Defina $x^{2} + 7 x + 11$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 7 x + 11 = 0$

Etapa 2.2.5.2

Resolva $x^{2} + 7 x + 11 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.2.5.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 7$ e $c = 11$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 11)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.5.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.3.1.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $11$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.5.2.3.1.3

Subtraia $44$ de $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.5.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

Etapa 2.2.5.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.4.1.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.5.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.5.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $11$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.5.2.4.1.3

Subtraia $44$ de $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.5.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

Etapa 2.2.5.2.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 7 + \sqrt{5}}{2}$

Etapa 2.2.5.2.4.4

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{5}}{2}$

Etapa 2.2.5.2.4.5

Fatore $- 1$ de $\sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{5})}{2}$

Etapa 2.2.5.2.4.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{5})}{2}$

Etapa 2.2.5.2.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 2.2.5.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.5.1.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.5.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.5.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $11$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.5.2.5.1.3

Subtraia $44$ de $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.5.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

Etapa 2.2.5.2.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 7 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 2.2.5.2.5.4

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 2.2.5.2.5.5

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{5})}{2}$

Etapa 2.2.5.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (7) - (\sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{5})}{2}$

Etapa 2.2.5.2.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

Etapa 2.2.5.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

Etapa 2.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 (2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}) \cup (- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2}) \cup (- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}) \cup (- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 7$ na expressão.

$f'' (- 7) = 4 {(- 7)}^{3} + 42 {(- 7)}^{2} + 142 (- 7) + 154$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 7$ à potência de $3$ .

$f'' (- 7) = 4 \cdot - 343 + 42 {(- 7)}^{2} + 142 (- 7) + 154$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 343$ .

$f'' (- 7) = - 1372 + 42 {(- 7)}^{2} + 142 (- 7) + 154$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 7$ à potência de $2$ .

$f'' (- 7) = - 1372 + 42 \cdot 49 + 142 (- 7) + 154$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $42$ por $49$ .

$f'' (- 7) = - 1372 + 2058 + 142 (- 7) + 154$

Etapa 5.2.1.5

Multiplique $142$ por $- 7$ .

$f'' (- 7) = - 1372 + 2058 - 994 + 154$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Some $- 1372$ e $2058$ .

$f'' (- 7) = 686 - 994 + 154$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $994$ de $686$ .

$f'' (- 7) = - 308 + 154$

Etapa 5.2.2.3

Some $- 308$ e $154$ .

$f'' (- 7) = - 154$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 154$ .

$- 154$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ porque $f'' (- 7)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f'' (- 4) = 4 {(- 4)}^{3} + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$f'' (- 4) = 4 \cdot - 64 + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 64$ .

$f'' (- 4) = - 256 + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f'' (- 4) = - 256 + 42 \cdot 16 + 142 (- 4) + 154$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $42$ por $16$ .

$f'' (- 4) = - 256 + 672 + 142 (- 4) + 154$

Etapa 6.2.1.5

Multiplique $142$ por $- 4$ .

$f'' (- 4) = - 256 + 672 - 568 + 154$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Some $- 256$ e $672$ .

$f'' (- 4) = 416 - 568 + 154$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $568$ de $416$ .

$f'' (- 4) = - 152 + 154$

Etapa 6.2.2.3

Some $- 152$ e $154$ .

$f'' (- 4) = 2$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ porque $f'' (- 4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f'' (- 3) = 4 {(- 3)}^{3} + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f'' (- 3) = 4 \cdot - 27 + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 27$ .

$f'' (- 3) = - 108 + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f'' (- 3) = - 108 + 42 \cdot 9 + 142 (- 3) + 154$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $42$ por $9$ .

$f'' (- 3) = - 108 + 378 + 142 (- 3) + 154$

Etapa 7.2.1.5

Multiplique $142$ por $- 3$ .

$f'' (- 3) = - 108 + 378 - 426 + 154$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Some $- 108$ e $378$ .

$f'' (- 3) = 270 - 426 + 154$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $426$ de $270$ .

$f'' (- 3) = - 156 + 154$

Etapa 7.2.2.3

Some $- 156$ e $154$ .

$f'' (- 3) = - 2$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ porque $f'' (- 3)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8

Substitua qualquer número do intervalo $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 4 {(0)}^{3} + 42 {(0)}^{2} + 142 (0) + 154$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 4 \cdot 0 + 42 {(0)}^{2} + 142 (0) + 154$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 42 {(0)}^{2} + 142 (0) + 154$

Etapa 8.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 0 + 42 \cdot 0 + 142 (0) + 154$

Etapa 8.2.1.4

Multiplique $42$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 142 (0) + 154$

Etapa 8.2.1.5

Multiplique $142$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 0 + 154$

Etapa 8.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 154$

Etapa 8.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f'' (0) = 0 + 154$

Etapa 8.2.2.3

Some $0$ e $154$ .

$f'' (0) = 154$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $154$ .

$154$

Etapa 8.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 9

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 10