Cálculo Exemplos

$2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Etapa 1

Escreva $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ como uma função.

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Etapa 2.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Etapa 2.1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Etapa 2.1.1.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Etapa 2.1.1.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Etapa 2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

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Etapa 2.1.1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 2.1.1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 2.1.1.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 2.1.1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 2.1.1.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Etapa 2.1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 2.1.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 2.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \cos (x) \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 2.1.2.2.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 2.1.2.2.4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 2.1.2.2.5

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 2.1.2.2.6

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 2.1.2.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 2.1.2.2.8

Some $1$ e $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 2.1.2.2.9

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 2.1.2.2.10

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 2.1.2.2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 2.1.2.2.12

Some $1$ e $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 2.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Etapa 2.1.2.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.1.2.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Etapa 2.1.2.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Etapa 2.1.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$

Etapa 2.2.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - 2 \cos^{2} (0) + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f'' (0) = - 2 \cdot 1^{2} + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Etapa 5.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (0) = - 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (0) = - 2 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Etapa 5.2.1.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f'' (0) = - 2 + 2 \cdot 0^{2} - 2 \cos (0)$

Etapa 5.2.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = - 2 + 2 \cdot 0 - 2 \cos (0)$

Etapa 5.2.1.6

Multiplique $2$ por $0$ .

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2 \cos (0)$

Etapa 5.2.1.7

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.8

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 5.2.2.1

Some $- 2$ e $0$ .

$f'' (0) = - 2 - 2$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$f'' (0) = - 4$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 4$ .

$- 4$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, \infty)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6