Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Etapa 1.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Mova o expoente $2$ de $\sin^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2}}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\sin^{2} (0)}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Etapa 1.3.3.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\sin^{2} (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Reordene os fatores de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) \sin (x)}$

Etapa 3.5.2

Reordene $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \cos (x))}$

Etapa 3.5.3

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}$

Etapa 3.5.4

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)}$

Etapa 4

O limite de $\frac{2 x}{\sin (2 x)}$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ é $1$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 4.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 4.1.2.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 4.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 4.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 4.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 4.1.3.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Etapa 4.1.3.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Etapa 4.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1.3.3.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Etapa 4.1.3.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 4.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 4.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 4.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 4.3.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 4.3.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 4.3.5.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 4.3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 4.3.6

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 4.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}$

Etapa 4.3.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Etapa 4.3.9

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.4.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

Etapa 4.4.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (2 x)}$

Etapa 4.5

Converta de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ em $\sec (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \sec (2 x)$

Etapa 4.6

Avalie o limite.

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Etapa 4.6.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\sec (lim_{x \to 0} 2 x)$

Etapa 4.6.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\sec (2 lim_{x \to 0} x)$

Etapa 4.7

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\sec (2 \cdot 0)$

Etapa 4.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.8.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\sec (0)$

Etapa 4.8.2

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$1$