Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Etapa 1.2

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Etapa 1.3

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 3.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{1}{x}}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to \infty} e^{x} x$

Etapa 5

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{x \to \infty} e^{x} \cdot lim_{x \to \infty} x$

Etapa 6

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\infty \cdot lim_{x \to \infty} x$

Etapa 7

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\infty \cdot \infty$

Etapa 8

Infinito vezes infinito é infinito.

$\infty$