Cálculo Exemplos

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{9 t - t^{2}}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{t \to \infty} \sqrt{t} + t^{2}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Multiplique para racionalizar o numerador.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{(\sqrt{t} + t^{2}) (\sqrt{t} - t^{2})}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Expanda o numerador usando o método FOIL.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{{\sqrt{t}}^{2} + \sqrt{t} (- t^{2}) + \sqrt{t} t^{2} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Reescreva ${\sqrt{t}}^{2}$ como $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{{(t^{\frac{1}{2}})}^{2} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t^{\frac{1}{2} \cdot 2} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2.2.2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t^{\frac{2}{2}} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t^{\frac{2}{2}} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2.2.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t^{1} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2.2.2.1.5

Simplifique.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2.2.2.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $t^{4}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t - 1 \cdot t^{4}}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2.2.2.3

Reescreva $- 1 t^{4}$ como $- t^{4}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t - t^{4}}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2.3

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $t$ no denominador, que é $t^{2} = \sqrt{t^{4}}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t}{t^{2}} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2.4

Simplifique os termos.

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Etapa 1.2.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.4.1.1

Cancele o fator comum de $t$ e $t^{2}$ .

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Etapa 1.2.4.1.1.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t^{1}}{t^{2}} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2.4.1.1.2

Fatore $t$ de $t^{1}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t \cdot 1}{t^{2}} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2.4.1.1.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.4.1.1.3.1

Fatore $t$ de $t^{2}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2.4.1.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2.4.1.1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2.4.1.2

Cancele o fator comum de $t^{4}$ e $t^{2}$ .

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Etapa 1.2.4.1.2.1

Fatore $t^{2}$ de $t^{4}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{2} t^{2}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2.4.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{2} t^{2}}{t^{2} \cdot 1}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2.4.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{2} t^{2}}{t^{2} \cdot 1}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2.4.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{2}}{1}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2.4.1.2.2.4

Divida $t^{2}$ por $1$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique cada termo.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2.4.3

Cancele o fator comum de $t$ e $t^{4}$ .

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Etapa 1.2.4.3.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t^{1}}{t^{4}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2.4.3.2

Fatore $t$ de $t^{1}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t^{4}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2.4.3.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.4.3.3.1

Fatore $t$ de $t^{4}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t^{3}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2.4.3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t^{3}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2.4.3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{1}{t^{3}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2.5

À medida que $t$ se aproxima de $\infty$ , a fração $\frac{1}{t}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{0 - t^{2}}{\sqrt{\frac{1}{t^{3}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2.6

À medida que $t$ se aproxima de $\infty$ , a fração $\frac{1}{t^{3}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{0 - t^{2}}{\sqrt{0} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.2.7

Como seu numerador é ilimitado e seu denominador se aproxima de um número constante, a fração $\frac{0 - t^{2}}{\sqrt{0} - 1}$ se aproxima do infinito.

$\frac{\infty}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Reordene $9 t$ e $- t^{2}$ .

$\frac{\infty}{lim_{t \to \infty} - t^{2} + 9 t}$

Etapa 1.3.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é menos infinito.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Etapa 1.3.3

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{- \infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{- \infty}$

Etapa 2

Como $\frac{\infty}{- \infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{9 t - t^{2}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t} + t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t} + t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{t} + t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [\sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d t} [\sqrt{t}]$ .

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Etapa 3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Etapa 3.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Etapa 3.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Etapa 3.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Etapa 3.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Etapa 3.3.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Etapa 3.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + 2 t}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + 2 t}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 2 t}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Etapa 3.5.3

Reordene os termos.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 t - t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [9 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [9 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]}$

Etapa 3.7

Avalie $\frac{d}{d t} [9 t]$ .

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Etapa 3.7.1

Como $9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $9 t$ em relação a $t$ é $9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]}$

Etapa 3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]}$

Etapa 3.7.3

Multiplique $9$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]}$

Etapa 3.8

Avalie $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

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Etapa 3.8.1

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t^{2}$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 - \frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Etapa 3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 - (2 t)}$

Etapa 3.8.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 - 2 t}$

Etapa 3.9

Reordene os termos.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{- 2 t + 9}$

Etapa 4

Reescreva $t^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 \sqrt{t}}}{- 2 t + 9}$

Etapa 5

Combine os termos.

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Etapa 5.1

Para escrever $2 t$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 \sqrt{t}}{2 \sqrt{t}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t \cdot \frac{2 \sqrt{t}}{2 \sqrt{t}} + \frac{1}{2 \sqrt{t}}}{- 2 t + 9}$

Etapa 5.2

Combine $2 t$ e $\frac{2 \sqrt{t}}{2 \sqrt{t}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 t (2 \sqrt{t})}{2 \sqrt{t}} + \frac{1}{2 \sqrt{t}}}{- 2 t + 9}$

Etapa 5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 t (2 \sqrt{t}) + 1}{2 \sqrt{t}}}{- 2 t + 9}$