Cálculo Exemplos

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Etapa 1

Divida usando a divisão polinomial longa.

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Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0$

Etapa 1.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$3 x$

$1$

Etapa 1.7

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x^{2} + \frac{3 x - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Etapa 2

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 2.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

Etapa 2.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 2.1.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{3 x - 1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Etapa 2.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{3 x - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1}$

Etapa 2.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(3 x - 1) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de ${(x - 1)}^{2}$ .

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Etapa 2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(3 x - 1) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Etapa 2.5.2

Divida $3 x - 1$ por $1$ .

$3 x - 1 = \frac{(A) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Etapa 2.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.1

Cancele o fator comum de ${(x - 1)}^{2}$ .

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Etapa 2.6.1.1

Cancele o fator comum.

$3 x - 1 = \frac{A {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Etapa 2.6.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$3 x - 1 = A + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Etapa 2.6.2

Cancele o fator comum de ${(x - 1)}^{2}$ e $x - 1$ .

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Etapa 2.6.2.1

Fatore $x - 1$ de $(B) {(x - 1)}^{2}$ .

$3 x - 1 = A + \frac{(x - 1) (B (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 2.6.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.6.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$3 x - 1 = A + \frac{(x - 1) (B (x - 1))}{(x - 1) \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.2.2

Cancele o fator comum.

$3 x - 1 = A + \frac{(x - 1) (B (x - 1))}{(x - 1) \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.2.3

Reescreva a expressão.

$3 x - 1 = A + \frac{B (x - 1)}{1}$

Etapa 2.6.2.2.4

Divida $B (x - 1)$ por $1$ .

$3 x - 1 = A + B (x - 1)$

Etapa 2.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x - 1 = A + B x + B \cdot - 1$

Etapa 2.6.4

Mova $- 1$ para a esquerda de $B$ .

$3 x - 1 = A + B x - 1 \cdot B$

Etapa 2.6.5

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$3 x - 1 = A + B x - B$

Etapa 2.7

Reordene $A$ e $B x$ .

$3 x - 1 = B x + A - B$

Etapa 3

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 3.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$3 = B$

Etapa 3.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 1 = A - 1 B$

Etapa 3.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$3 = B$

$- 1 = A - 1 B$

$3 = B$

$- 1 = A - 1 B$

Etapa 4

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $B = 3$ .

$B = 3$

$- 1 = A - 1 B$

Etapa 4.2

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $3$ em cada equação.

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Etapa 4.2.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $- 1 = A - 1 B$ por $3$ .

$- 1 = A - 1 \cdot 3$

$B = 3$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 1 = A - 3$

$B = 3$

$- 1 = A - 3$

$B = 3$

$- 1 = A - 3$

$B = 3$

Etapa 4.3

Resolva $A$ em $- 1 = A - 3$ .

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Etapa 4.3.1

Reescreva a equação como $A - 3 = - 1$ .

$A - 3 = - 1$

$B = 3$

Etapa 4.3.2

Mova todos os termos que não contêm $A$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$A = - 1 + 3$

$B = 3$

Etapa 4.3.2.2

Some $- 1$ e $3$ .

$A = 2$

$B = 3$

$A = 2$

$B = 3$

$A = 2$

$B = 3$

Etapa 4.4

Resolva o sistema de equações.

$A = 2 B = 3$

Etapa 4.5

Liste todas as soluções.

$A = 2, B = 3$

Etapa 5

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $x^{2} + \frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$x^{2} + \frac{2}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{3}{x - 1}$