Cálculo Exemplos

$\frac{1}{x^{2} + x^{4}}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} + x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{1}{x^{2} \cdot 1 + x^{4}}$

Etapa 1.1.2

Fatore $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$\frac{1}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2}}$

Etapa 1.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} \cdot (1 + x^{2})}$

Etapa 1.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} (1 + x^{2})}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x^{2} (1 + x^{2})$ .

$\frac{1 (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2} (1 + x^{2})} = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2} (1 + x^{2})} = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $1 + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.6.1.2

Divida $A (1 + x^{2})$ por $1$ .

$1 = A (1 + x^{2}) + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A \cdot 1 + A x^{2} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.6.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$1 = A + A x^{2} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.6.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.4.1

Fatore $x$ de $B (x^{2} (1 + x^{2}))$ .

$1 = A + A x^{2} + \frac{x (B (x (1 + x^{2})))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.6.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$1 = A + A x^{2} + \frac{x (B (x (1 + x^{2})))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.6.4.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$1 = A + A x^{2} + \frac{x (B (x (1 + x^{2})))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.6.4.2.3

Cancele o fator comum.

$1 = A + A x^{2} + \frac{x (B (x (1 + x^{2})))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.6.4.2.4

Reescreva a expressão.

$1 = A + A x^{2} + \frac{B (x (1 + x^{2}))}{1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.6.4.2.5

Divida $B (x (1 + x^{2}))$ por $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B (x (1 + x^{2})) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A + A x^{2} + B (x \cdot 1 + x \cdot x^{2}) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.6.6

Multiplique $x$ por $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B (x + x \cdot x^{2}) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.6.7

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.7.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.7.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B (x + x \cdot x^{2}) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.6.7.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 = A + A x^{2} + B (x + x^{1 + 2}) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.6.7.2

Some $1$ e $2$ .

$1 = A + A x^{2} + B (x + x^{3}) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.6.8

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.6.9

Cancele o fator comum de $1 + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.9.1

Cancele o fator comum.

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.6.9.2

Divida $(C x + D) (x^{2})$ por $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + (C x + D) (x^{2})$

Etapa 1.6.10

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C x \cdot x^{2} + D x^{2}$

Etapa 1.6.11

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.11.1

Mova $x^{2}$ .

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C (x^{2} x) + D x^{2}$

Etapa 1.6.11.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.11.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C (x^{2} x) + D x^{2}$

Etapa 1.6.11.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C x^{2 + 1} + D x^{2}$

Etapa 1.6.11.3

Some $2$ e $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2}$

Etapa 1.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Reordene $B$ e $x^{3}$ .

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2}$

Etapa 1.7.2

Mova $A$ .

$1 = A x^{2} + B x + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2} + A$

Etapa 1.7.3

Mova $B x$ .

$1 = A x^{2} + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2} + B x + A$

Etapa 1.7.4

Mova $A x^{2}$ .

$1 = B x^{3} + C x^{3} + A x^{2} + D x^{2} + B x + A$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{3}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = B + C$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + D$

Etapa 2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = B$

Etapa 2.4

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A$

Etapa 2.5

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$0 = B$

$1 = A$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$0 = B$

$1 = A$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $B = 0$ .

$B = 0$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$1 = A$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $0$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $0 = B + C$ por $0$ .

$0 = (0) + C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$1 = A$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Some $0$ e $C$ .

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$1 = A$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$1 = A$

Etapa 3.2.3

Reescreva a equação como $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$A = 1$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $C = 0$ .

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = A + D$

Etapa 3.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + D$ por $1$ .

$0 = (1) + D$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Remova os parênteses.

$0 = 1 + D$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = 1 + D$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = 1 + D$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

Etapa 3.4

Resolva $D$ em $0 = 1 + D$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $1 + D = 0$ .

$1 + D = 0$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

Etapa 3.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$D = - 1$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

$D = - 1$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

Etapa 3.5

Resolva o sistema de equações.

$D = - 1 C = 0 A = 1 B = 0$

Etapa 3.6

Liste todas as soluções.

$D = - 1, C = 0, A = 1, B = 0$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{1 + x^{2}}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ , $C$ e $D$ .

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{0 x - 1}{1 + x^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique $0$ por $x$ .

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{0 - 1}{1 + x^{2}}$

Etapa 5.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{- 1}{1 + x^{2}}$