Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 18}{x + 3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 3 x - 18$ e $g (x) = x + 3$ .

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 18] - (x^{2} - 3 x - 18) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3 x - 18$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 18]) - (x^{2} - 3 x - 18) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x + 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 18]) - (x^{2} - 3 x - 18) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]) - (x^{2} - 3 x - 18) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]) - (x^{2} - 3 x - 18) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 18]) - (x^{2} - 3 x - 18) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

Como $- 18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 18$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 3 + 0) - (x^{2} - 3 x - 18) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.7

Some $2 x - 3$ e $0$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 18) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 18) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 18) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.10

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 18) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.11.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 18) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.11.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 18)}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x + 3) (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) - - 18}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.2.1.1

Expanda $(x + 3) (2 x - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.3.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x - 3) + 3 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) - - 18}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 3 + 3 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) - - 18}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 18}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.2.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 18}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.2.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 18}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 18}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.1.3

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 \cdot x + 3 (2 x) + 3 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 18}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.1.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x + 6 x + 3 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 18}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.1.5

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x + 6 x - 9 - x^{2} - (- 3 x) - - 18}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.2

Some $- 3 x$ e $6 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 9 - x^{2} - (- 3 x) - - 18}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 9 - x^{2} + 3 x - - 18}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 18$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 9 - x^{2} + 3 x + 18}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 9 + 3 x + 18}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.3

Some $3 x$ e $3 x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x - 9 + 18}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.4

Some $- 9$ e $18$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.3.3.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 3^{2}}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Etapa 1.3.3.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Cancele o fator comum de ${(x + 3)}^{2}$ .

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Etapa 1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f' (x) = 1$

Etapa 2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $0$ .

$0$