Cálculo Exemplos

$f (x) = (5 + 4 x) e^{- 5 x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 5 + 4 x$ e $g (x) = e^{- 5 x}$ .

$(5 + 4 x) \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}] + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 5 x$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 5 x$ .

$(5 + 4 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(5 + 4 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 5 x$ .

$(5 + 4 x) (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 + 4 x) e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(5 + 4 x) e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

Etapa 1.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.3.1

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$(5 + 4 x) e^{- 5 x} \cdot - 5 + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

Etapa 1.3.3.2

Mova $- 5$ para a esquerda de $(5 + 4 x) e^{- 5 x}$ .

$- 5 \cdot ((5 + 4 x) e^{- 5 x}) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

Etapa 1.3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 + 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 1.3.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (0 + \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 1.3.6

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 1.3.7

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (4 \cdot 1)$

Etapa 1.3.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.9.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} \cdot 4$

Etapa 1.3.9.2

Mova $4$ para a esquerda de $e^{- 5 x}$ .

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + 4 \cdot e^{- 5 x}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(- 5 \cdot 5 - 5 (4 x)) e^{- 5 x} + 4 e^{- 5 x}$

Etapa 1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 5 \cdot 5 e^{- 5 x} - 5 (4 x) e^{- 5 x} + 4 e^{- 5 x}$

Etapa 1.4.3

Combine os termos.

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Etapa 1.4.3.1

Multiplique $- 5$ por $5$ .

$- 25 e^{- 5 x} - 5 (4 x) e^{- 5 x} + 4 e^{- 5 x}$

Etapa 1.4.3.2

Multiplique $4$ por $- 5$ .

$- 25 e^{- 5 x} - 20 x e^{- 5 x} + 4 e^{- 5 x}$

Etapa 1.4.3.3

Some $- 25 e^{- 5 x}$ e $4 e^{- 5 x}$ .

$- 20 x e^{- 5 x} - 21 e^{- 5 x}$

Etapa 1.4.4

Reordene os termos.

$- 20 e^{- 5 x} x - 21 e^{- 5 x}$

Etapa 1.4.5

Reordene os fatores em $- 20 e^{- 5 x} x - 21 e^{- 5 x}$ .

$f' (x) = - 20 x e^{- 5 x} - 21 e^{- 5 x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 20 x e^{- 5 x} - 21 e^{- 5 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 20 x e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 20 x e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 20 x e^{- 5 x}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 20 x e^{- 5 x}$ em relação a $x$ é $- 20 \frac{d}{d x} [x e^{- 5 x}]$ .

$- 20 \frac{d}{d x} [x e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- 5 x}$ .

$- 20 (x \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}] + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 5 x$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- 5 x$ .

$- 20 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 20 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- 5 x$ .

$- 20 (x (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Etapa 2.2.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 20 (x (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 20 (x (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 20 (x (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)) + e^{- 5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Etapa 2.2.7

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$- 20 (x (e^{- 5 x} \cdot - 5) + e^{- 5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Etapa 2.2.8

Mova $- 5$ para a esquerda de $e^{- 5 x}$ .

$- 20 (x (- 5 \cdot e^{- 5 x}) + e^{- 5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Etapa 2.2.9

Multiplique $e^{- 5 x}$ por $1$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 21$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 21 e^{- 5 x}$ em relação a $x$ é $- 21 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 5 x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 5 x$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 5 x$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Etapa 2.3.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

Etapa 2.3.5

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

Etapa 2.3.6

Mova $- 5$ para a esquerda de $e^{- 5 x}$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

Etapa 2.3.7

Multiplique $- 5$ por $- 21$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) + 105 e^{- 5 x}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x})) - 20 e^{- 5 x} + 105 e^{- 5 x}$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Multiplique $- 5$ por $- 20$ .

$100 (x (e^{- 5 x})) - 20 e^{- 5 x} + 105 e^{- 5 x}$

Etapa 2.4.2.2

Some $- 20 e^{- 5 x}$ e $105 e^{- 5 x}$ .

$100 x e^{- 5 x} + 85 e^{- 5 x}$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$100 e^{- 5 x} x + 85 e^{- 5 x}$

Etapa 2.4.4

Reordene os fatores em $100 e^{- 5 x} x + 85 e^{- 5 x}$ .

$f'' (x) = 100 x e^{- 5 x} + 85 e^{- 5 x}$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $100 x e^{- 5 x} + 85 e^{- 5 x}$ .

$100 x e^{- 5 x} + 85 e^{- 5 x}$