Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 x^{- 2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{- 2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$5 (- 2 x^{- 3})$

Etapa 1.3

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$- 10 x^{- 3}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 10 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 1.4.2

Combine $- 10$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 10}{x^{3}}$

Etapa 1.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{10}{x^{3}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{10}{x^{3}}$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Etapa 2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Etapa 2.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$- 10 (- 3 x^{- 4})$

Etapa 2.4

Multiplique $- 3$ por $- 10$ .

$30 x^{- 4}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$30 \frac{1}{x^{4}}$

Etapa 2.5.2

Combine $30$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{30}{x^{4}}$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{30}{x^{4}}$ .

$\frac{30}{x^{4}}$