Cálculo Exemplos

$f (u) = \frac{u}{u^{2} + 6}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ é $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ , em que $f (u) = u$ e $g (u) = u^{2} + 6$ .

$\frac{(u^{2} + 6) \frac{d}{d u} [u] - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 6]}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(u^{2} + 6) \cdot 1 - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 6]}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Multiplique $u^{2} + 6$ por $1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 6]}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $u^{2} + 6$ com relação a $u$ é $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [6]$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [6])}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u (2 u + \frac{d}{d u} [6])}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

Como $6$ é constante em relação a $u$ , a derivada de $6$ em relação a $u$ é $0$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u (2 u + 0)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Some $2 u$ e $0$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u (2 u)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - 2 u \cdot u}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.3

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - 2 (u^{1} u)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.4

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - 2 (u^{1} u^{1})}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{u^{2} + 6 - 2 u^{1 + 1}}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - 2 u^{2}}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.7

Subtraia $2 u^{2}$ de $u^{2}$ .

$\frac{- u^{2} + 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Fatore $- 1$ de $- u^{2}$ .

$\frac{- (u^{2}) + 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.8.2

Reescreva $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$\frac{- (u^{2}) - 1 (- 6)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.8.3

Fatore $- 1$ de $- (u^{2}) - 1 (- 6)$ .

$\frac{- (u^{2} - 6)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.8.4

Reescreva $- (u^{2} - 6)$ como $- 1 (u^{2} - 6)$ .

$\frac{- 1 (u^{2} - 6)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.8.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (u) = - \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ é $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ , em que $f (u) = - 1$ e $g (u) = \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d u} [\frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}] + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Etapa 2.2

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} - 6] - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{({(u^{2} + 6)}^{2})}^{2}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(u^{2} + 6)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} - 6] - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{2 \cdot 2}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} - 6] - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $u^{2} - 6$ com relação a $u$ é $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 6]$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 6]) - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} (2 u + \frac{d}{d u} [- 6]) - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Etapa 2.3.4

Como $- 6$ é constante em relação a $u$ , a derivada de $- 6$ em relação a $u$ é $0$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} (2 u + 0) - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Some $2 u$ e $0$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} (2 u) - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Etapa 2.3.5.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(u^{2} + 6)}^{2}$ .

$- \frac{2 \cdot {(u^{2} + 6)}^{2} u - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ é $f' (g (u)) g' (u)$ , em que $f (u) = u^{2}$ e $g (u) = u^{2} + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $u^{2} + 6$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - (u^{2} - 6) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d u} [u^{2} + 6])}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - (u^{2} - 6) (2 u_{1} \frac{d}{d u} [u^{2} + 6])}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $u^{2} + 6$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - (u^{2} - 6) (2 (u^{2} + 6) \frac{d}{d u} [u^{2} + 6])}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Etapa 2.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) \frac{d}{d u} [u^{2} + 6])}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Etapa 2.5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $u^{2} + 6$ com relação a $u$ é $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [6]$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [6]))}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Etapa 2.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) (2 u + \frac{d}{d u} [6]))}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Etapa 2.5.4

Como $6$ é constante em relação a $u$ , a derivada de $6$ em relação a $u$ é $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) (2 u + 0))}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Etapa 2.5.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.1

Some $2 u$ e $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) (2 u))}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Etapa 2.5.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $u^{2} + 6$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) (2 \cdot (u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Etapa 2.5.5.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Etapa 2.5.6

Como $- 1$ é constante em relação a $u$ , a derivada de $- 1$ em relação a $u$ é $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.5.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.7.1

Multiplique $\frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$ por $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + 0$

Etapa 2.5.7.2

Some $- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$ e $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.1

Reescreva ${(u^{2} + 6)}^{2}$ como $(u^{2} + 6) (u^{2} + 6)$ .

$- \frac{2 ((u^{2} + 6) (u^{2} + 6)) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.2

Expanda $(u^{2} + 6) (u^{2} + 6)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 (u^{2} (u^{2} + 6) + 6 (u^{2} + 6)) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 (u^{2} u^{2} + u^{2} \cdot 6 + 6 (u^{2} + 6)) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 (u^{2} u^{2} + u^{2} \cdot 6 + 6 u^{2} + 6 \cdot 6) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.3.1.1

Multiplique $u^{2}$ por $u^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{2 (u^{2 + 2} + u^{2} \cdot 6 + 6 u^{2} + 6 \cdot 6) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.3.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$- \frac{2 (u^{4} + u^{2} \cdot 6 + 6 u^{2} + 6 \cdot 6) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.3.1.2

Mova $6$ para a esquerda de $u^{2}$ .

$- \frac{2 (u^{4} + 6 \cdot u^{2} + 6 u^{2} + 6 \cdot 6) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.3.1.3

Multiplique $6$ por $6$ .

$- \frac{2 (u^{4} + 6 u^{2} + 6 u^{2} + 36) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.3.2

Some $6 u^{2}$ e $6 u^{2}$ .

$- \frac{2 (u^{4} + 12 u^{2} + 36) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{(2 u^{4} + 2 (12 u^{2}) + 2 \cdot 36) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.5.1

Multiplique $12$ por $2$ .

$- \frac{(2 u^{4} + 24 u^{2} + 2 \cdot 36) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.5.2

Multiplique $2$ por $36$ .

$- \frac{(2 u^{4} + 24 u^{2} + 72) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 u^{4} u + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.7.1

Multiplique $u^{4}$ por $u$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.7.1.1

Mova $u$ .

$- \frac{2 (u \cdot u^{4}) + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.7.1.2

Multiplique $u$ por $u^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.7.1.2.1

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$- \frac{2 (u^{1} u^{4}) + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.7.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{2 u^{1 + 4} + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.7.1.3

Some $1$ e $4$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.7.2

Multiplique $u^{2}$ por $u$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.7.2.1

Mova $u$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 (u \cdot u^{2}) + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.7.2.2

Multiplique $u$ por $u^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.7.2.2.1

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 (u^{1} u^{2}) + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.7.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{1 + 2} + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.7.2.3

Some $1$ e $2$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.8

Multiplique $- 4$ por $- 6$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} + 24) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.9

Multiplique $u^{2}$ por $u$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.9.1

Multiplique $u^{2}$ por $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.9.1.1

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} + 24) (u^{2} u^{1} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.9.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} + 24) (u^{2 + 1} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.9.2

Some $2$ e $1$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} + 24) (u^{3} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.10

Expanda $(- 4 u^{2} + 24) (u^{3} + 6 u)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{2} (u^{3} + 6 u) + 24 (u^{3} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{2} u^{3} - 4 u^{2} (6 u) + 24 (u^{3} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{2} u^{3} - 4 u^{2} (6 u) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.11

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.11.1.1

Multiplique $u^{2}$ por $u^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.11.1.1.1

Mova $u^{3}$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 (u^{3} u^{2}) - 4 u^{2} (6 u) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.11.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{3 + 2} - 4 u^{2} (6 u) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.11.1.1.3

Some $3$ e $2$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 u^{2} (6 u) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.11.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 u^{2} u + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.11.1.3

Multiplique $u^{2}$ por $u$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.11.1.3.1

Mova $u$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 (u \cdot u^{2}) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.11.1.3.2

Multiplique $u$ por $u^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.11.1.3.2.1

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 (u^{1} u^{2}) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.11.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 u^{1 + 2} + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.11.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 u^{3} + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.11.1.4

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 24 u^{3} + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.11.1.5

Multiplique $6$ por $24$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 24 u^{3} + 24 u^{3} + 144 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.11.2

Some $- 24 u^{3}$ e $24 u^{3}$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} + 0 + 144 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.11.3

Some $- 4 u^{5}$ e $0$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} + 144 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.2

Subtraia $4 u^{5}$ de $2 u^{5}$ .

$- \frac{- 2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + 144 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.3

Some $72 u$ e $144 u$ .

$- \frac{- 2 u^{5} + 24 u^{3} + 216 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.4.1

Fatore $2 u$ de $- 2 u^{5} + 24 u^{3} + 216 u$ .

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Etapa 2.6.4.1.1

Fatore $2 u$ de $- 2 u^{5}$ .

$- \frac{2 u (- u^{4}) + 24 u^{3} + 216 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.2

Fatore $2 u$ de $24 u^{3}$ .

$- \frac{2 u (- u^{4}) + 2 u (12 u^{2}) + 216 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.3

Fatore $2 u$ de $216 u$ .

$- \frac{2 u (- u^{4}) + 2 u (12 u^{2}) + 2 u (108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.4

Fatore $2 u$ de $2 u (- u^{4}) + 2 u (12 u^{2})$ .

$- \frac{2 u (- u^{4} + 12 u^{2}) + 2 u (108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.5

Fatore $2 u$ de $2 u (- u^{4} + 12 u^{2}) + 2 u (108)$ .

$- \frac{2 u (- u^{4} + 12 u^{2} + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.2

Reescreva $u^{4}$ como ${(u^{2})}^{2}$ .

$- \frac{2 u (- {(u^{2})}^{2} + 12 u^{2} + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.3

Deixe $u = u^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $u^{2}$ .

$- \frac{2 u (- u^{2} + 12 u + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.4

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.6.4.4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 108 = - 108$ e cuja soma é $b = 12$ .

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Etapa 2.6.4.4.1.1

Fatore $12$ de $12 u$ .

$- \frac{2 u (- u^{2} + 12 (u) + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.4.1.2

Reescreva $12$ como $- 6$ mais $18$

$- \frac{2 u (- u^{2} + (- 6 + 18) u + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 u (- u^{2} - 6 u + 18 u + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.6.4.4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- \frac{2 u ((- u^{2} - 6 u) + 18 u + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- \frac{2 u (u (- u - 6) - 18 (- u - 6))}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- u - 6$ .

$- \frac{2 u ((- u - 6) (u - 18))}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $u^{2}$ .

$- \frac{2 u (- u^{2} - 6) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.5

Cancele o fator comum de $- u^{2} - 6$ e ${(u^{2} + 6)}^{4}$ .

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Etapa 2.6.5.1

Fatore $- 1$ de $- u^{2}$ .

$- \frac{2 u (- (u^{2}) - 6) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.2

Reescreva $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$- \frac{2 u (- (u^{2}) - 1 (6)) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.3

Fatore $- 1$ de $- (u^{2}) - 1 (6)$ .

$- \frac{2 u (- (u^{2} + 6)) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.4

Reescreva $- (u^{2} + 6)$ como $- 1 (u^{2} + 6)$ .

$- \frac{2 u (- 1 (u^{2} + 6)) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.5

Fatore $u^{2} + 6$ de $2 u (- 1 (u^{2} + 6)) (u^{2} - 18)$ .

$- \frac{(u^{2} + 6) (2 u \cdot (- 1) (u^{2} - 18))}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.5.6.1

Fatore $u^{2} + 6$ de ${(u^{2} + 6)}^{4}$ .

$- \frac{(u^{2} + 6) (2 u \cdot (- 1) (u^{2} - 18))}{(u^{2} + 6) {(u^{2} + 6)}^{3}}$

Etapa 2.6.5.6.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{(u^{2} + 6) (2 u \cdot (- 1) (u^{2} - 18))}{(u^{2} + 6) {(u^{2} + 6)}^{3}}$

Etapa 2.6.5.6.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{2 u \cdot (- 1) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

Etapa 2.6.6

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{- 2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

Etapa 2.6.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

Etapa 2.6.8

Multiplique $- - \frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$ .

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Etapa 2.6.8.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

Etapa 2.6.8.2

Multiplique $\frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (u) = \frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (u)$ com relação a $u$ é $\frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$ .

$\frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$