Cálculo Exemplos

$h (w) = {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{5}{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ é $f' (g (w)) g' (w)$ , em que $f (w) = w^{\frac{5}{2}}$ e $g (w) = w^{2} + 6 w + 8$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $w^{2} + 6 w + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $w^{2} + 6 w + 8$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]$

Etapa 1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]$

Etapa 1.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]$

Etapa 1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]$

Etapa 1.5.2

Subtraia $2$ de $5$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]$

Etapa 1.6

Combine $\frac{5}{2}$ e ${(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]$

Etapa 1.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $w^{2} + 6 w + 8$ com relação a $w$ é $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [6 w] + \frac{d}{d w} [8]$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [6 w] + \frac{d}{d w} [8])$

Etapa 1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ é $n w^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + \frac{d}{d w} [6 w] + \frac{d}{d w} [8])$

Etapa 1.9

Como $6$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $6 w$ em relação a $w$ é $6 \frac{d}{d w} [w]$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 6 \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [8])$

Etapa 1.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ é $n w^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d w} [8])$

Etapa 1.11

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 6 + \frac{d}{d w} [8])$

Etapa 1.12

Como $8$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $8$ em relação a $w$ é $0$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 6 + 0)$

Etapa 1.13

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.13.1

Some $2 w + 6$ e $0$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 6)$

Etapa 1.13.2

Reordene os fatores de $\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 6)$ .

$f' (w) = (2 w + 6) \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d w} [f (w) g (w)]$ é $f (w) \frac{d}{d w} [g (w)] + g (w) \frac{d}{d w} [f (w)]$ , em que $f (w) = 2 w + 6$ e $g (w) = \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$(2 w + 6) \frac{d}{d w} [\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2}] + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Etapa 2.2

Como $\frac{5}{2}$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ em relação a $w$ é $\frac{5}{2} \frac{d}{d w} [{(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$(2 w + 6) (\frac{5}{2} \frac{d}{d w} [{(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ é $f' (g (w)) g' (w)$ , em que $f (w) = w^{\frac{3}{2}}$ e $g (w) = w^{2} + 6 w + 8$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $w^{2} + 6 w + 8$ .

$(2 w + 6) \frac{5}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$(2 w + 6) \frac{5}{2} (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $w^{2} + 6 w + 8$ .

$(2 w + 6) \frac{5}{2} (\frac{3}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Etapa 2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$(2 w + 6) \frac{5}{2} (\frac{3}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Etapa 2.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$(2 w + 6) \frac{5}{2} (\frac{3}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Etapa 2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(2 w + 6) \frac{5}{2} (\frac{3}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Etapa 2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$(2 w + 6) \frac{5}{2} (\frac{3}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Etapa 2.7.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$(2 w + 6) \frac{5}{2} (\frac{3}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Etapa 2.8

Combine frações.

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Etapa 2.8.1

Combine $\frac{3}{2}$ e ${(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 w + 6) \frac{5}{2} (\frac{3 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Etapa 2.8.2

Multiplique $\frac{3 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ por $\frac{5}{2}$ .

$(2 w + 6) \frac{3 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 5}{2 \cdot 2} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8] + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Etapa 2.8.3

Multiplique.

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Etapa 2.8.3.1

Multiplique $5$ por $3$ .

$(2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8] + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Etapa 2.8.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$(2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8] + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Etapa 2.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $w^{2} + 6 w + 8$ com relação a $w$ é $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [6 w] + \frac{d}{d w} [8]$ .

$(2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} (\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [6 w] + \frac{d}{d w} [8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ é $n w^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} (2 w + \frac{d}{d w} [6 w] + \frac{d}{d w} [8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Etapa 2.11

Como $6$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $6 w$ em relação a $w$ é $6 \frac{d}{d w} [w]$ .

$(2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} (2 w + 6 \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Etapa 2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ é $n w^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} (2 w + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d w} [8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Etapa 2.13

Multiplique $6$ por $1$ .

$(2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} (2 w + 6 + \frac{d}{d w} [8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Etapa 2.14

Como $8$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $8$ em relação a $w$ é $0$ .

$(2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} (2 w + 6 + 0) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Etapa 2.15

Some $2 w + 6$ e $0$ .

$(2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} (2 w + 6) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Etapa 2.16

Eleve $2 w + 6$ à potência de $1$ .

${(2 w + 6)}^{1} (2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Etapa 2.17

Eleve $2 w + 6$ à potência de $1$ .

${(2 w + 6)}^{1} {(2 w + 6)}^{1} \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Etapa 2.18

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(2 w + 6)}^{1 + 1} \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Etapa 2.19

Combine frações.

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Etapa 2.19.1

Some $1$ e $1$ .

${(2 w + 6)}^{2} \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Etapa 2.19.2

Combine ${(2 w + 6)}^{2}$ e $\frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

$\frac{{(2 w + 6)}^{2} (15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}})}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Etapa 2.19.3

Mova $15$ para a esquerda de ${(2 w + 6)}^{2}$ .

$\frac{15 \cdot {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Etapa 2.20

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 w + 6$ com relação a $w$ é $\frac{d}{d w} [2 w] + \frac{d}{d w} [6]$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (\frac{d}{d w} [2 w] + \frac{d}{d w} [6])$

Etapa 2.21

Como $2$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $2 w$ em relação a $w$ é $2 \frac{d}{d w} [w]$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [6])$

Etapa 2.22

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ é $n w^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d w} [6])$

Etapa 2.23

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 + \frac{d}{d w} [6])$

Etapa 2.24

Como $6$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $6$ em relação a $w$ é $0$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 + 0)$

Etapa 2.25

Simplifique os termos.

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Etapa 2.25.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot 2$

Etapa 2.25.2

Combine $\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ e $2$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2}$

Etapa 2.25.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{10 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 2.25.4

Fatore $2$ de $10 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{2 (5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}})}{2}$

Etapa 2.26

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.26.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{2 (5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}})}{2 (1)}$

Etapa 2.26.2

Cancele o fator comum.

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{2 (5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.26.3

Reescreva a expressão.

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{1}$

Etapa 2.26.4

Divida $5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + 5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 2.27

Para escrever $5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + 5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 2.28

Combine $5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}} \cdot 4}{4}$

Etapa 2.29

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} + 5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}} \cdot 4}{4}$

Etapa 2.30

Multiplique $4$ por $5$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} + 20 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{4}$

Etapa 2.31

Simplifique.

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Etapa 2.31.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.31.1.1

Fatore $5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}$ de $15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} + 20 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 2.31.1.1.1

Fatore $5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}$ de $15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 {(2 w + 6)}^{2}) + 20 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{4}$

Etapa 2.31.1.1.2

Fatore $5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}$ de $20 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 {(2 w + 6)}^{2}) + 5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{2}{2}})}{4}$

Etapa 2.31.1.1.3

Fatore $5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}$ de $5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 {(2 w + 6)}^{2}) + 5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{2}{2}})$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 {(2 w + 6)}^{2} + 4 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{2}{2}})}{4}$

Etapa 2.31.1.2

Deixe $u_{2} = {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{2}{2}}$ . Substitua $u_{2}$ em todas as ocorrências de ${(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{2}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.31.1.2.1

Reescreva ${(2 w + 6)}^{2}$ como $(2 w + 6) (2 w + 6)$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 ((2 w + 6) (2 w + 6)) + 4 u_{2})}{4}$

Etapa 2.31.1.2.2

Expanda $(2 w + 6) (2 w + 6)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.31.1.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (2 w (2 w + 6) + 6 (2 w + 6)) + 4 u_{2})}{4}$

Etapa 2.31.1.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (2 w (2 w) + 2 w \cdot 6 + 6 (2 w + 6)) + 4 u_{2})}{4}$

Etapa 2.31.1.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (2 w (2 w) + 2 w \cdot 6 + 6 (2 w) + 6 \cdot 6) + 4 u_{2})}{4}$

Etapa 2.31.1.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.31.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.31.1.2.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (2 \cdot 2 w \cdot w + 2 w \cdot 6 + 6 (2 w) + 6 \cdot 6) + 4 u_{2})}{4}$

Etapa 2.31.1.2.3.1.2

Multiplique $w$ por $w$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.31.1.2.3.1.2.1

Mova $w$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (2 \cdot 2 (w \cdot w) + 2 w \cdot 6 + 6 (2 w) + 6 \cdot 6) + 4 u_{2})}{4}$

Etapa 2.31.1.2.3.1.2.2

Multiplique $w$ por $w$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (2 \cdot 2 w^{2} + 2 w \cdot 6 + 6 (2 w) + 6 \cdot 6) + 4 u_{2})}{4}$

Etapa 2.31.1.2.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (4 w^{2} + 2 w \cdot 6 + 6 (2 w) + 6 \cdot 6) + 4 u_{2})}{4}$

Etapa 2.31.1.2.3.1.4

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (4 w^{2} + 12 w + 6 (2 w) + 6 \cdot 6) + 4 u_{2})}{4}$

Etapa 2.31.1.2.3.1.5

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (4 w^{2} + 12 w + 12 w + 6 \cdot 6) + 4 u_{2})}{4}$

Etapa 2.31.1.2.3.1.6

Multiplique $6$ por $6$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (4 w^{2} + 12 w + 12 w + 36) + 4 u_{2})}{4}$

Etapa 2.31.1.2.3.2

Some $12 w$ e $12 w$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (4 w^{2} + 24 w + 36) + 4 u_{2})}{4}$

Etapa 2.31.1.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (4 w^{2}) + 3 (24 w) + 3 \cdot 36 + 4 u_{2})}{4}$

Etapa 2.31.1.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.31.1.2.5.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (12 w^{2} + 3 (24 w) + 3 \cdot 36 + 4 u_{2})}{4}$

Etapa 2.31.1.2.5.2

Multiplique $24$ por $3$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (12 w^{2} + 72 w + 3 \cdot 36 + 4 u_{2})}{4}$

Etapa 2.31.1.2.5.3

Multiplique $3$ por $36$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (12 w^{2} + 72 w + 108 + 4 u_{2})}{4}$

Etapa 2.31.1.3

Fatore $4$ de $12 w^{2} + 72 w + 108 + 4 u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.31.1.3.1

Fatore $4$ de $12 w^{2}$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (3 w^{2}) + 72 w + 108 + 4 u_{2})}{4}$

Etapa 2.31.1.3.2

Fatore $4$ de $72 w$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (3 w^{2}) + 4 (18 w) + 108 + 4 u_{2})}{4}$

Etapa 2.31.1.3.3

Fatore $4$ de $108$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (3 w^{2}) + 4 (18 w) + 4 \cdot 27 + 4 u_{2})}{4}$

Etapa 2.31.1.3.4

Fatore $4$ de $4 (3 w^{2}) + 4 (18 w)$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (3 w^{2} + 18 w) + 4 \cdot 27 + 4 u_{2})}{4}$

Etapa 2.31.1.3.5

Fatore $4$ de $4 (3 w^{2} + 18 w) + 4 \cdot 27$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (3 w^{2} + 18 w + 27) + 4 u_{2})}{4}$

Etapa 2.31.1.3.6

Fatore $4$ de $4 (3 w^{2} + 18 w + 27) + 4 u_{2}$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (3 w^{2} + 18 w + 27 + u_{2}))}{4}$

Etapa 2.31.1.4

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por ${(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{2}{2}}$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (3 w^{2} + 18 w + 27 + {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{2}{2}}))}{4}$

Etapa 2.31.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.31.1.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.31.1.5.1.1

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (3 w^{2} + 18 w + 27 + {(w^{2} + 6 w + 8)}^{1}))}{4}$

Etapa 2.31.1.5.1.2

Simplifique.

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (3 w^{2} + 18 w + 27 + w^{2} + 6 w + 8))}{4}$

Etapa 2.31.1.5.2

Some $3 w^{2}$ e $w^{2}$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (4 w^{2} + 18 w + 27 + 6 w + 8))}{4}$

Etapa 2.31.1.5.3

Some $18 w$ e $6 w$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (4 w^{2} + 24 w + 27 + 8))}{4}$

Etapa 2.31.1.5.4

Some $27$ e $8$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (4 w^{2} + 24 w + 35))}{4}$

Etapa 2.31.1.6

Fatore.

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4 (2 w + 5) (2 w + 7)}{4}$

Etapa 2.31.1.7

Multiplique $4$ por $5$ .

$\frac{20 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7)}{4}$

Etapa 2.31.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.31.2.1

Fatore $4$ de $20 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7)$ .

$\frac{4 (5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7))}{4}$

Etapa 2.31.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.31.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 (5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7))}{4 (1)}$

Etapa 2.31.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7))}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.31.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7)}{1}$

Etapa 2.31.2.2.4

Divida $5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7)$ por $1$ .

$f'' (w) = 5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7)$

Etapa 3

A segunda derivada de $h (w)$ com relação a $w$ é $5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7)$ .

$5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7)$