Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{4} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 1.1.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 1.1.2.4

Combine $\frac{4}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 1.1.2.5

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 1.1.2.5.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{2} x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{3} - \frac{1}{2} (2 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x^{3} - 2 (\frac{1}{2}) x$

Etapa 1.1.3.4

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$x^{3} + \frac{- 2}{2} x$

Etapa 1.1.3.5

Combine $\frac{- 2}{2}$ e $x$ .

$x^{3} + \frac{- 2 x}{2}$

Etapa 1.1.3.6

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.6.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$x^{3} + \frac{2 (- x)}{2}$

Etapa 1.1.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x^{3} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Etapa 1.1.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{3} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{3} + \frac{- x}{1}$

Etapa 1.1.3.6.2.4

Divida $- x$ por $1$ .

$f' (x) = x^{3} - x$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 1 \cdot 1$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 1$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 1$ .

$3 x^{2} - 1$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 1 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 1 = 0$

Etapa 2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 x^{2} = 1$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $3 x^{2} = 1$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $3 x^{2} = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Etapa 2.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.5.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.5.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.5.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 2.5.4.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 2.5.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 2.5.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.5.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 2.5.4.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.5.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.5.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.5.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.5.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 2.5.4.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $\frac{\sqrt{3}}{3}$ em $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{\sqrt{3}}{3}$ na expressão.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{4} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.2

Combine.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 {\sqrt{3}}^{4}}{4 \cdot 3^{4}} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.3

Multiplique ${\sqrt{3}}^{4}$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{4 \cdot 3^{4}} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.5.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.5.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.5.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.5.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{4}{2}}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.5.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.5.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.5.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.5.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.5.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.5.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{1}}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.5.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{2}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.5.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.6

Multiplique $4$ por $81$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{324} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.7

Cancele o fator comum de $9$ e $324$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.7.1

Fatore $9$ de $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (1)}{324} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.7.2.1

Fatore $9$ de $324$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 36} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.7.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 36} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.7.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.8

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$

Etapa 3.1.2.1.9

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.9.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}$

Etapa 3.1.2.1.9.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}$

Etapa 3.1.2.1.9.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

Etapa 3.1.2.1.9.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.9.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

Etapa 3.1.2.1.9.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3^{2}}$

Etapa 3.1.2.1.9.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3^{2}}$

Etapa 3.1.2.1.10

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{9}$

Etapa 3.1.2.1.11

Cancele o fator comum de $3$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.11.1

Fatore $3$ de $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 (1)}{9}$

Etapa 3.1.2.1.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.11.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Etapa 3.1.2.1.11.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Etapa 3.1.2.1.11.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 3.1.2.1.12

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.12.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{3 \cdot 2}$

Etapa 3.1.2.1.12.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{6}$

Etapa 3.1.2.2

Para escrever $- \frac{1}{6}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{6}$

Etapa 3.1.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $36$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $\frac{6}{6}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{6}{6 \cdot 6}$

Etapa 3.1.2.3.2

Multiplique $6$ por $6$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{6}{36}$

Etapa 3.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6}{36}$

Etapa 3.1.2.5

Subtraia $6$ de $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 5}{36}$

Etapa 3.1.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{5}{36}$

Etapa 3.1.2.7

A resposta final é $- \frac{5}{36}$ .

$- \frac{5}{36}$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $\frac{\sqrt{3}}{3}$ em $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ é $(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{36})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{36})$

Etapa 3.3

Substitua $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ em $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ na expressão.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{4} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{4} \cdot ({(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4}) - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{4} \cdot ({(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}})) - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{4} \cdot (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}})) - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.3

Multiplique $\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4

Combine.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 {\sqrt{3}}^{4}}{4 \cdot 3^{4}} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.5

Multiplique ${\sqrt{3}}^{4}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{4 \cdot 3^{4}} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.6

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.7.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.7.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.7.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.7.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{4}{2}}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.7.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.7.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.7.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.7.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.7.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.7.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{1}}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.7.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{2}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.7.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.8

Multiplique $4$ por $81$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{324} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.9

Cancele o fator comum de $9$ e $324$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.9.1

Fatore $9$ de $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (1)}{324} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.9.2.1

Fatore $9$ de $324$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 36} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.9.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 36} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.9.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.10

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 3.3.2.1.10.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2})$

Etapa 3.3.2.1.10.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}))$

Etapa 3.3.2.1.11

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.2.1.11.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 (\frac{1}{2})) \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.11.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

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Etapa 3.3.2.1.11.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{1}{2})) \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.11.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{1}{2}) \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.11.3

Some $2$ e $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} + {(- 1)}^{3} (\frac{1}{2}) \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.12

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 3.3.2.1.12.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} + {(- 1)}^{3} (\frac{1}{2}) \cdot \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.12.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} + {(- 1)}^{3} (\frac{1}{2}) \cdot \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.12.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} + {(- 1)}^{3} (\frac{1}{2}) \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.12.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.1.12.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} + {(- 1)}^{3} (\frac{1}{2}) \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.12.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} + {(- 1)}^{3} (\frac{1}{2}) \cdot \frac{3}{3^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.12.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} + {(- 1)}^{3} (\frac{1}{2}) \cdot \frac{3}{3^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.13

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} + {(- 1)}^{3} (\frac{1}{2}) \cdot \frac{3}{9}$

Etapa 3.3.2.1.14

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{9}$

Etapa 3.3.2.1.15

Cancele o fator comum de $3$ e $9$ .

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Etapa 3.3.2.1.15.1

Fatore $3$ de $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 (1)}{9}$

Etapa 3.3.2.1.15.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.2.1.15.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Etapa 3.3.2.1.15.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Etapa 3.3.2.1.15.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 3.3.2.1.16

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 3.3.2.1.16.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{3 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.16.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{6}$

Etapa 3.3.2.2

Para escrever $- \frac{1}{6}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{6}$

Etapa 3.3.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $36$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.3.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $\frac{6}{6}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{6}{6 \cdot 6}$

Etapa 3.3.2.3.2

Multiplique $6$ por $6$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{6}{36}$

Etapa 3.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6}{36}$

Etapa 3.3.2.5

Subtraia $6$ de $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 5}{36}$

Etapa 3.3.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{5}{36}$

Etapa 3.3.2.7

A resposta final é $- \frac{5}{36}$ .

$- \frac{5}{36}$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ em $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ é $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{36})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{36})$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{36}), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{36})$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.67735026$ na expressão.

$f'' (- 0.67735026) = 3 {(- 0.67735026)}^{2} - 1$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 0.67735026$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.67735026) = 3 \cdot 0.45880338 - 1$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $3$ por $0.45880338$ .

$f'' (- 0.67735026) = 1.37641016 - 1$

Etapa 5.2.2

Subtraia $1$ de $1.37641016$ .

$f'' (- 0.67735026) = 0.37641016$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $0.37641016$ .

$0.37641016$

Etapa 5.3

Em $- 0.67735026$ , a segunda derivada é $0.37641016$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Acréscimo em $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 3 {(0)}^{2} - 1$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 3 \cdot 0 - 1$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 1$

Etapa 6.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$f'' (0) = - 1$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Etapa 6.3

Em $0$ , a segunda derivada é $- 1$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Decréscimo em $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.67735026$ na expressão.

$f'' (0.67735026) = 3 {(0.67735026)}^{2} - 1$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $0.67735026$ à potência de $2$ .

$f'' (0.67735026) = 3 \cdot 0.45880338 - 1$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $3$ por $0.45880338$ .

$f'' (0.67735026) = 1.37641016 - 1$

Etapa 7.2.2

Subtraia $1$ de $1.37641016$ .

$f'' (0.67735026) = 0.37641016$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $0.37641016$ .

$0.37641016$

Etapa 7.3

Em $0.67735026$ , a segunda derivada é $0.37641016$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{36}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{36})$ .

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{36}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{36})$

Etapa 9