Cálculo Exemplos

$f (x) = 6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 \sin (2 x)$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$12 x + 6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$12 x + 6 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.1.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$12 x + 6 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$12 x + 6 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.1.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x + 6 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 x + 6 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Etapa 1.1.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$12 x + 6 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Etapa 1.1.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$12 x + 6 (2 \cdot \cos (2 x))$

Etapa 1.1.3.7

Multiplique $2$ por $6$ .

$f' (x) = 12 x + 12 \cos (2 x)$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x + 12 \cos (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 \cos (2 x)$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$12 + 12 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$12 + 12 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.2.3.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$12 + 12 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$12 + 12 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.2.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 + 12 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 + 12 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Etapa 1.2.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$12 + 12 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Etapa 1.2.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$12 + 12 (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 1.2.3.7

Multiplique $- 2$ por $12$ .

$f'' (x) = 12 - 24 \sin (2 x)$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 - 24 \sin (2 x)$ .

$12 - 24 \sin (2 x)$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 - 24 \sin (2 x) = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$12 - 24 \sin (2 x) = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$- 24 \sin (2 x) = - 12$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $- 24 \sin (2 x) = - 12$ por $- 24$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $- 24 \sin (2 x) = - 12$ por $- 24$ .

$\frac{- 24 \sin (2 x)}{- 24} = \frac{- 12}{- 24}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 24 \sin (2 x)}{- 24} = \frac{- 12}{- 24}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $\sin (2 x)$ por $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 12}{- 24}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 12$ e $- 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.1

Fatore $- 12$ de $- 12$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 12 (1)}{- 24}$

Etapa 2.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.2.1

Fatore $- 12$ de $- 24$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 12 \cdot 1}{- 12 \cdot 2}$

Etapa 2.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\sin (2 x) = \frac{- 12 \cdot 1}{- 12 \cdot 2}$

Etapa 2.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Etapa 2.4

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 2.5

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Etapa 2.6

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{6}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Etapa 2.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Etapa 2.6.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Etapa 2.6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 2.6.3.2

Multiplique $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Etapa 2.6.3.2.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Etapa 2.7

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Etapa 2.8

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 2.8.1.2

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 2.8.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 2.8.1.4

Subtraia $π$ de $π \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.4.1

Reordene $π$ e $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 2.8.1.4.2

Subtraia $π$ de $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Etapa 2.8.2

Divida cada termo em $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Etapa 2.8.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Etapa 2.8.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Etapa 2.8.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 2.8.2.3.2

Multiplique $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.3.2.1

Multiplique $\frac{5 π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Etapa 2.8.2.3.2.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Etapa 2.9

Encontre o período de $\sin (2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.9.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 2.9.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 2.9.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 2.9.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 2.10

O período da função $\sin (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $\frac{π}{12}$ em $f (x) = 6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{12}$ na expressão.

$f (\frac{π}{12}) = 6 {(\frac{π}{12})}^{2} + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{π}{12}$ .

$f (\frac{π}{12}) = 6 (\frac{π^{2}}{12^{2}}) + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

Etapa 3.1.2.1.2

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$f (\frac{π}{12}) = 6 (\frac{π^{2}}{144}) + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

Etapa 3.1.2.1.3

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.3.1

Fatore $6$ de $144$ .

$f (\frac{π}{12}) = 6 (\frac{π^{2}}{6 (24)}) + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

Etapa 3.1.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{12}) = 6 (\frac{π^{2}}{6 \cdot 24}) + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

Etapa 3.1.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

Etapa 3.1.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.4.1

Fatore $2$ de $12$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{π}{2 (6)}))$

Etapa 3.1.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 6}))$

Etapa 3.1.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 6 \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 3.1.2.1.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 6 (\frac{1}{2})$

Etapa 3.1.2.1.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.6.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 2 (3) (\frac{1}{2})$

Etapa 3.1.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 2 \cdot (3 (\frac{1}{2}))$

Etapa 3.1.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 3$

Etapa 3.1.2.2

A resposta final é $\frac{π^{2}}{24} + 3$ .

$\frac{π^{2}}{24} + 3$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $\frac{π}{12}$ em $f (x) = 6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$ é $(\frac{π}{12}, \frac{π^{2}}{24} + 3)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{π}{12}, \frac{π^{2}}{24} + 3)$

Etapa 3.3

Substitua $\frac{5 π}{12}$ em $f (x) = 6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5 π}{12}$ na expressão.

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 {(\frac{5 π}{12})}^{2} + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5 π}{12}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{{(5 π)}^{2}}{12^{2}}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Etapa 3.3.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{5^{2} π^{2}}{12^{2}}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Etapa 3.3.2.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{25 π^{2}}{12^{2}}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Etapa 3.3.2.1.3

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{25 π^{2}}{144}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Etapa 3.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.4.1

Fatore $6$ de $144$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{25 π^{2}}{6 (24)}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Etapa 3.3.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{25 π^{2}}{6 \cdot 24}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Etapa 3.3.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Etapa 3.3.2.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.5.1

Fatore $2$ de $12$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{2 (6)}))$

Etapa 3.3.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 6}))$

Etapa 3.3.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 \sin (\frac{5 π}{6})$

Etapa 3.3.2.1.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 3.3.2.1.7

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 (\frac{1}{2})$

Etapa 3.3.2.1.8

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.8.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 2 (3) (\frac{1}{2})$

Etapa 3.3.2.1.8.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 2 \cdot (3 (\frac{1}{2}))$

Etapa 3.3.2.1.8.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 3$

Etapa 3.3.2.2

A resposta final é $\frac{25 π^{2}}{24} + 3$ .

$\frac{25 π^{2}}{24} + 3$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $\frac{5 π}{12}$ em $f (x) = 6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$ é $(\frac{5 π}{12}, \frac{25 π^{2}}{24} + 3)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{5 π}{12}, \frac{25 π^{2}}{24} + 3)$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(\frac{π}{12}, \frac{π^{2}}{24} + 3), (\frac{5 π}{12}, \frac{25 π^{2}}{24} + 3)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, \frac{π}{12}) \cup (\frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}) \cup (\frac{5 π}{12}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{π}{12})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0.16179938$ na expressão.

$f'' (0.16179938) = 12 - 24 \sin (2 (0.16179938))$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique $2$ por $0.16179938$ .

$f'' (0.16179938) = 12 - 24 \sin (0.32359877)$

Etapa 5.2.2

A resposta final é $12 - 24 \sin (0.32359877)$ .

$12 - 24 \sin (0.32359877)$

Etapa 5.3

Em $0.16179938$ , a segunda derivada é $4.36846556$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, \frac{π}{12})$ .

Acréscimo em $(- \infty, \frac{π}{12})$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(\frac{π}{12}, \frac{5 π}{12})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0.78539816$ na expressão.

$f'' (0.78539816) = 12 - 24 \sin (2 (0.78539816))$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $2$ por $0.78539816$ .

$f'' (0.78539816) = 12 - 24 \sin (1.57079632)$

Etapa 6.2.2

A resposta final é $12 - 24 \sin (1.57079632)$ .

$12 - 24 \sin (1.57079632)$

Etapa 6.3

Em $0.78539816$ , a segunda derivada é $- 12$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(\frac{π}{12}, \frac{5 π}{12})$ .

Decréscimo em $(\frac{π}{12}, \frac{5 π}{12})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(\frac{5 π}{12}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1.40899693$ na expressão.

$f'' (1.40899693) = 12 - 24 \sin (2 (1.40899693))$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $2$ por $1.40899693$ .

$f'' (1.40899693) = 12 - 24 \sin (2.81799387)$

Etapa 7.2.2

A resposta final é $12 - 24 \sin (2.81799387)$ .

$12 - 24 \sin (2.81799387)$

Etapa 7.3

Em $1.40899693$ , a segunda derivada é $4.36846556$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(\frac{5 π}{12}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{5 π}{12}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(\frac{π}{12}, \frac{π^{2}}{24} + 3), (\frac{5 π}{12}, \frac{25 π^{2}}{24} + 3)$ .

$(\frac{π}{12}, \frac{π^{2}}{24} + 3), (\frac{5 π}{12}, \frac{25 π^{2}}{24} + 3)$

Etapa 9