Cálculo Exemplos

$y = 1 - 9 x^{2}$ , $y = 0$

Etapa 1

Para encontrar o volume do sólido, primeiro defina a área de cada parte e, depois, integre em todo o intervalo. A área de cada parte é a área de um círculo com o raio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} {(f (x))}^{2} d x$ em que $f (x) = - 9 x^{2} + 1$

Etapa 2

Simplifique o integrando.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(- 9 x^{2} + 1)}^{2}$ como $(- 9 x^{2} + 1) (- 9 x^{2} + 1)$ .

$V = (- 9 x^{2} + 1) (- 9 x^{2} + 1)$

Etapa 2.2

Expanda $(- 9 x^{2} + 1) (- 9 x^{2} + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - 9 x^{2} (- 9 x^{2} + 1) + 1 (- 9 x^{2} + 1)$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - 9 x^{2} (- 9 x^{2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2} + 1)$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - 9 x^{2} (- 9 x^{2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$V = - 9 \cdot (- 9 x^{2} x^{2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$V = - 9 \cdot (- 9 (x^{2} x^{2})) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$V = - 9 \cdot (- 9 x^{2 + 2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$V = - 9 \cdot (- 9 x^{4}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique $- 9$ por $- 9$ .

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $- 9 x^{2}$ por $1$ .

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} - 9 x^{2} + 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} - 9 x^{2} + 1$

Etapa 2.3.2

Subtraia $9 x^{2}$ de $- 9 x^{2}$ .

$V = 81 x^{4} - 18 x^{2} + 1$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$V = π (\int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} 81 x^{4} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} - 18 x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

Etapa 4

Como $81$ é constante com relação a $x$ , mova $81$ para fora da integral.

$V = π (81 \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} x^{4} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} - 18 x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (81 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} - 18 x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} - 18 x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

Etapa 7

Como $- 18$ é constante com relação a $x$ , mova $- 18$ para fora da integral.

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) - 18 \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) - 18 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) - 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) - 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + x]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}})$

Etapa 11

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.1

Avalie $\frac{x^{5}}{5}$ em $0.\overline{3}$ e em $- 0.\overline{3}$ .

$V = π (81 ((\frac{{0.\overline{3}}^{5}}{5}) - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{5}}{5}) - 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + x]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}})$

Etapa 11.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $0.\overline{3}$ e em $- 0.\overline{3}$ .

$V = π (81 (\frac{{0.\overline{3}}^{5}}{5} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{5}}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + x]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}})$

Etapa 11.3

Avalie $x$ em $0.\overline{3}$ e em $- 0.\overline{3}$ .

$V = π (81 (\frac{{0.\overline{3}}^{5}}{5} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{5}}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4

Simplifique.

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Etapa 11.4.1

Eleve $0.\overline{3}$ à potência de $5$ .

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{5}}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.2

Eleve $- 0.\overline{3}$ à potência de $5$ .

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} - \frac{- 0.00411522}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} + \frac{0.00411522}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} + 1 (\frac{0.00411522}{5})) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.5

Multiplique $\frac{0.00411522}{5}$ por $1$ .

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} + \frac{0.00411522}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (81 (\frac{0.00411522 + 0.00411522}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.7

Some $0.00411522$ e $0.00411522$ .

$V = π (81 (\frac{0.00823045}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.8

Combine $81$ e $\frac{0.00823045}{5}$ .

$V = π (\frac{81 \cdot 0.00823045}{5} - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.9

Multiplique $81$ por $0.00823045$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.10

Eleve $0.\overline{3}$ à potência de $3$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.11

Eleve $- 0.\overline{3}$ à potência de $3$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} - \frac{- 0.03703703}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} + \frac{0.03703703}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.13

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} + 1 (\frac{0.03703703}{3})) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.14

Multiplique $\frac{0.03703703}{3}$ por $1$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} + \frac{0.03703703}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 \frac{0.03703703 + 0.03703703}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.16

Some $0.03703703$ e $0.03703703$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.07407407}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.17

Combine $- 18$ e $\frac{0.07407407}{3}$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} + \frac{- 18 \cdot 0.07407407}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.18

Multiplique $- 18$ por $0.07407407$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} + \frac{- 1.33333333}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.19

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - \frac{1.33333333}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.20

Para escrever $\frac{0.66666666}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1.33333333}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.21

Para escrever $- \frac{1.33333333}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1.33333333}{3} \cdot \frac{5}{5} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.22

Escreva cada expressão com um denominador comum de $15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 11.4.22.1

Multiplique $\frac{0.66666666}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{1.33333333}{3} \cdot \frac{5}{5} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.22.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3}{15} - \frac{1.33333333}{3} \cdot \frac{5}{5} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.22.3

Multiplique $\frac{1.33333333}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3}{15} - \frac{1.33333333 \cdot 5}{3 \cdot 5} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.22.4

Multiplique $3$ por $5$ .

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3}{15} - \frac{1.33333333 \cdot 5}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.23

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3 - 1.33333333 \cdot 5}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.24

Multiplique $0.66666666$ por $3$ .

$V = π (\frac{2 - 1.33333333 \cdot 5}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.25

Multiplique $- 1.33333333$ por $5$ .

$V = π (\frac{2 - 6.66666666}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.26

Subtraia $6.66666666$ de $2$ .

$V = π (\frac{- 4.66666666}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.27

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = π (- \frac{4.66666666}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Etapa 11.4.28

Some $0.\overline{3}$ e $0.\overline{3}$ .

$V = π (- \frac{4.66666666}{15} + 0.\overline{6})$

Etapa 11.4.29

Para escrever $0.\overline{6}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{15}{15}$ .

$V = π (- \frac{4.66666666}{15} + 0.\overline{6} \cdot \frac{15}{15})$

Etapa 11.4.30

Combine $0.\overline{6}$ e $\frac{15}{15}$ .

$V = π (- \frac{4.66666666}{15} + \frac{0.\overline{6} \cdot 15}{15})$

Etapa 11.4.31

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{- 4.66666666 + 0.\overline{6} \cdot 15}{15})$

Etapa 11.4.32

Multiplique $0.\overline{6}$ por $15$ .

$V = π (\frac{- 4.66666666 + 10}{15})$

Etapa 11.4.33

Some $- 4.66666666$ e $10$ .

$V = π (\frac{5.33333333}{15})$

Etapa 11.4.34

Combine $π$ e $\frac{5.33333333}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 5.33333333}{15}$

Etapa 11.4.35

Multiplique $π$ por $5.33333333$ .

$V = \frac{16.75516081}{15}$

Etapa 12

Divida $16.75516081$ por $15$ .

$V = 1.11701072$

Etapa 13