Cálculo Exemplos

$f (t) = e^{\sin (t)} \cos (t)$ , $[0, \frac{π}{2}]$

Etapa 1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${t | t \in ℝ}$

Etapa 2

$f (t)$ é contínuo em $[0, \frac{π}{2}]$ .

$f (t)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{\sin (t)} \cos (t) d t)$

Etapa 5

Deixe $u = \sin (t)$ . Depois, $d u = \cos (t) d t$ , então, $\frac{1}{\cos (t)} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = \sin (t)$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $\sin (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Etapa 5.1.2

A derivada de $\sin (t)$ em relação a $t$ é $\cos (t)$ .

$\cos (t)$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = \sin (t)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Etapa 5.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = \sin (t)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 5.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\int_{0}^{1} e^{u} d u)$

Etapa 6

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e^{u}]_{0}^{1})$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $e^{u}$ em $1$ e em $0$ .

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} ((e) - e^{0})$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Simplifique.

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - e^{0})$

Etapa 7.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - 1 \cdot 1)$

Etapa 7.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - 1)$

Etapa 8

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} + 0} \cdot (e - 1)$

Etapa 8.2

Some $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2}} \cdot (e - 1)$

Etapa 9

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$A (t) = 1 (\frac{2}{π}) \cdot (e - 1)$

Etapa 10

Multiplique $\frac{2}{π}$ por $1$ .

$A (t) = \frac{2}{π} \cdot (e - 1)$

Etapa 11

Aplique a propriedade distributiva.

$A (t) = \frac{2}{π} \cdot e + \frac{2}{π} \cdot - 1$

Etapa 12

Combine $\frac{2}{π}$ e $e$ .

$A (t) = \frac{2 e}{π} + \frac{2}{π} \cdot - 1$

Etapa 13

Multiplique $\frac{2}{π} \cdot - 1$ .

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Etapa 13.1

Combine $\frac{2}{π}$ e $- 1$ .

$A (t) = \frac{2 e}{π} + \frac{2 \cdot - 1}{π}$

Etapa 13.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$A (t) = \frac{2 e}{π} + \frac{- 2}{π}$

Etapa 14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (t) = \frac{2 e}{π} - \frac{2}{π}$

Etapa 15