Cálculo Exemplos

$16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Etapa 1

Escreva $16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ como uma função.

$f (x) = 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) d x$

Etapa 4

Como $16$ é constante com relação a $x$ , mova $16$ para fora da integral.

$16 \int \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) d x$

Etapa 5

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (x)$ como $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$16 \int \sin^{2} (x) \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Etapa 6

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\sin^{2} (x)$ como $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$16 \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ por $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$16 \int \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{2 \cdot 2} d x$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$16 \int \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{4} d x$

Etapa 8

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$16 (\frac{1}{4} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x)$

Etapa 9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $16$ .

$\frac{16}{4} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $16$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Etapa 9.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Etapa 9.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Etapa 9.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{1} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Etapa 9.2.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$4 \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Etapa 10

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 10.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 10.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$4 \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 11

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$4 (\frac{1}{2} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1})$

Etapa 12

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{4}{2} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 12.1.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 12.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 12.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 12.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{1} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 12.1.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2 \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 12.2

Expanda $(1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1}))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \int 1 (1 + \cos (u_{1})) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 12.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 12.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cdot 1 - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 12.2.4

Mova $\cos (u_{1})$ .

$2 \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 12.2.5

Multiplique $1$ por $1$ .

$2 \int 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 12.2.6

Multiplique $\cos (u_{1})$ por $1$ .

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 12.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 12.2.8

Fatore o negativo.

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 12.2.9

Eleve $\cos (u_{1})$ à potência de $1$ .

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 12.2.10

Eleve $\cos (u_{1})$ à potência de $1$ .

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 12.2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - {\cos (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

Etapa 12.2.12

Some $1$ e $1$ .

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 12.2.13

Subtraia $\cos (u_{1})$ de $\cos (u_{1})$ .

$2 \int 1 + 0 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 12.2.14

Subtraia $\cos^{2} (u_{1})$ de $0$ .

$2 \int 1 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 13

Divida a integral única em várias integrais.

$2 (\int d u_{1} + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Etapa 14

Aplique a regra da constante.

$2 (u_{1} + C + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Etapa 15

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (u_{1} + C - \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Etapa 16

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$2 (u_{1} + C - \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

Etapa 17

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Etapa 18

Divida a integral única em várias integrais.

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Etapa 19

Aplique a regra da constante.

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Etapa 20

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1.1

Diferencie $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Etapa 20.1.2

Como $2$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $2 u_{1}$ em relação a $u_{1}$ é $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 20.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 20.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 20.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

Etapa 21

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

Etapa 22

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Etapa 23

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)))$

Etapa 24

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1

Simplifique.

$2 (u_{1} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Etapa 24.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.1

Para escrever $u_{1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 (u_{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Etapa 24.2.2

Combine $u_{1}$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{u_{1} \cdot 2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Etapa 24.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (\frac{u_{1} \cdot 2 - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Etapa 24.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$2 (\frac{2 \cdot u_{1} - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Etapa 24.2.5

Subtraia $u_{1}$ de $2 u_{1}$ .

$2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Etapa 25

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 25.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$2 (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Etapa 25.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 u_{1}$ .

$2 (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 u_{1})}{4}) + C$

Etapa 25.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$2 (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

Etapa 26

Simplifique.

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Etapa 26.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 26.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 26.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

Etapa 26.1.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$2 (x - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

Etapa 26.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 (x - \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

Etapa 26.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x + 2 (- \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

Etapa 26.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 26.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sin (4 x)}{4}$ para o numerador.

$2 x + 2 \frac{- \sin (4 x)}{4} + C$

Etapa 26.3.2

Fatore $2$ de $4$ .

$2 x + 2 \frac{- \sin (4 x)}{2 (2)} + C$

Etapa 26.3.3

Cancele o fator comum.

$2 x + 2 \frac{- \sin (4 x)}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 26.3.4

Reescreva a expressão.

$2 x + \frac{- \sin (4 x)}{2} + C$

Etapa 26.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 x - \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Etapa 27

Reordene os termos.

$2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x) + C$

Etapa 28

A resposta é a primitiva da função $f (x) = 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x) + C$