Cálculo Exemplos

$- 3 e^{- \frac{1}{3} x} + C$

Etapa 1

Escreva $- 3 e^{- \frac{1}{3} x} + C$ como uma função.

$f (x) = - 3 e^{- \frac{1}{3} x} + C$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int - 3 e^{- \frac{1}{3} x} + C d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - 3 e^{- \frac{1}{3} x} d x + \int C d x$

Etapa 5

Como $- 3$ é constante com relação a $x$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$- 3 \int e^{- \frac{1}{3} x} d x + \int C d x$

Etapa 6

Deixe $u = - \frac{1}{3} x$ . Depois, $d u = - \frac{1}{3} d x$ , então, $- 3 d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = - \frac{1}{3} x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $- \frac{1}{3} x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x]$

Etapa 6.1.2

Como $- \frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{3} x$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 1$

Etapa 6.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{3}$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- 3 \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{3}} d u + \int C d x$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$- 3 \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u + \int C d x$

Etapa 7.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$- 3 \int - e^{u} (1 \cdot 3) d u + \int C d x$

Etapa 7.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$- 3 \int - e^{u} \cdot 3 d u + \int C d x$

Etapa 7.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 \int - 3 e^{u} d u + \int C d x$

Etapa 8

Como $- 3$ é constante com relação a $u$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$- 3 (- 3 \int e^{u} d u) + \int C d x$

Etapa 9

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$9 \int e^{u} d u + \int C d x$

Etapa 10

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$9 (e^{u} + C) + \int C d x$

Etapa 11

Aplique a regra da constante.

$9 (e^{u} + C) + C x + C$

Etapa 12

Simplifique.

$9 e^{u} + C x + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- \frac{1}{3} x$ .

$9 e^{- \frac{1}{3} x} + C x + C$

Etapa 14

A resposta é a primitiva da função $f (x) = - 3 e^{- \frac{1}{3} x} + C$ .

$F (x) =$ $9 e^{- \frac{1}{3} x} + C x + C$