Cálculo Exemplos

$x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}$

Etapa 1

Escreva $x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}$ como uma função.

$f (x) = x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int x^{3} \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Etapa 4

Deixe $x = \tan (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ é positivo.

$\int \tan^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 5

Simplifique $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

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Etapa 5.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \tan^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \tan^{3} (t) \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Etapa 6

Multiplique $\sec (t)$ por $\sec^{2} (t)$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1

Mova $\sec^{2} (t)$ .

$\int \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

Etapa 6.2

Multiplique $\sec^{2} (t)$ por $\sec (t)$ .

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Etapa 6.2.1

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\int \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Etapa 6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \tan^{3} (t) {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Etapa 6.3

Some $2$ e $1$ .

$\int \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

Etapa 7

Fatore $\tan^{2} (t)$ .

$\int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Etapa 8

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Etapa 9

Deixe $u = \sec (t)$ . Depois, $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , então, $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 9.1

Deixe $u = \sec (t)$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 9.1.1

Diferencie $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Etapa 9.1.2

A derivada de $\sec (t)$ em relação a $t$ é $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Etapa 10

Multiplique $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Reescreva $- 1 u^{2}$ como $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Etapa 11.2

Multiplique $u^{2}$ por $u^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Etapa 11.2.2

Some $2$ e $2$ .

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

Etapa 12

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Etapa 13

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Etapa 14

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

Etapa 15

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{4}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Etapa 16.2

Simplifique.

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Etapa 17

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 17.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sec (t)$ .

$- \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + \frac{1}{5} \sec^{5} (t) + C$

Etapa 17.2

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arctan (x)$ .

$- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (x)) + C$

Etapa 18

A resposta é a primitiva da função $f (x) = x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (x)) + C$