Cálculo Exemplos

$f (x) = - x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 8$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$- 3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} - 6 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 x^{2} - 6 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 3 x^{2} - 6 x - 3 + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.5.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 3 x^{2} - 6 x - 3 + 0$

Etapa 1.1.5.2

Some $- 3 x^{2} - 6 x - 3$ e $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} - 6 x - 3$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 3 x^{2} - 6 x - 3$ .

$- 3 x^{2} - 6 x - 3$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 3 x^{2} - 6 x - 3 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 3 x^{2} - 6 x - 3 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $- 3$ de $- 3 x^{2} - 6 x - 3$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $- 3$ de $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 6 x - 3 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $- 3$ de $- 6 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (2 x) - 3 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $- 3$ de $- 3$ .

$- 3 x^{2} - 3 (2 x) - 3 \cdot 1 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $- 3$ de $- 3 (x^{2}) - 3 (2 x)$ .

$- 3 (x^{2} + 2 x) - 3 \cdot 1 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $- 3$ de $- 3 (x^{2} + 2 x) - 3 (1)$ .

$- 3 (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.2.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- 3 (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 2.2.2.3

Reescreva o polinômio.

$- 3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 2.2.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$- 3 {(x + 1)}^{2} = 0$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $- 3 {(x + 1)}^{2} = 0$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $- 3 {(x + 1)}^{2} = 0$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 {(x + 1)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 {(x + 1)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida ${(x + 1)}^{2}$ por $1$ .

${(x + 1)}^{2} = \frac{0}{- 3}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Divida $0$ por $- 3$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Etapa 2.4

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.5

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $- x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 8$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = - 1$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$- {(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 8$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.2.1.1.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{3}$ .

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Etapa 4.1.2.1.1.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

${(- 1)}^{1} {(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 8$

Etapa 4.1.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(- 1)}^{1 + 3} - 3 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 8$

Etapa 4.1.2.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

${(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 8$

Etapa 4.1.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$1 - 3 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 8$

Etapa 4.1.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 - 3 \cdot 1 - 3 \cdot - 1 + 8$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$1 - 3 - 3 \cdot - 1 + 8$

Etapa 4.1.2.1.5

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$1 - 3 + 3 + 8$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.1.2.2.1

Subtraia $3$ de $1$ .

$- 2 + 3 + 8$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $- 2$ e $3$ .

$1 + 8$

Etapa 4.1.2.2.3

Some $1$ e $8$ .

$9$

Etapa 4.2

Liste todos os pontos.

$(- 1, 9)$

Etapa 5